In una semicirconferenza di diametro $\overline{A B}=2 r$, la corda $A C$ misura $r \sqrt{2}$. Il punto $P$, preso sull'arco $\overparen{A C}$, ha proiezione $H$ sul segmento $A C$ e $C$ ha proiezione $K$ sulla tangente in $P$. Detto $x$ l'angolo $C \widehat{A} P$, determina la funzione $y=\overline{C K}+\sqrt{2} \overline{P H}+\overline{P K}$ e rappresenta il suo grafico tenendo conto dei limiti del problema.
$$
\left[y=2 r \sin 2 x ; 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right]
$$
25
punti
Livello 0
Intanto un disegno:
y = 2·r·SIN(x)^2 + √2·(2·r·SIN(x))·SIN(pi/4 - x) + 2·r·SIN(x)·COS(x)
In base alle informazioni di figura. Ti devi ricordare due cose:
a) Teorema della corda: ti permette di scrivere PC
b) Gli angoli alla circonferenza individuati da x e da (pi/4-x) che insistono su archi uguali
Poi andiamo avanti...
SIN(pi/4 - x) = SIN(pi/4)·COS(x) - SIN(x)·COS(pi/4)
Quindi il 2° termine si scrive:
√2·(2·r·SIN(x))·(SIN(pi/4)·COS(x) - SIN(x)·COS(pi/4)) =
=2·r·SIN(x)·COS(x) - 2·r·SIN(x)^2
In definitiva hai:
y = 2·r·SIN(x)^2 + 2·r·SIN(x)·COS(x) - 2·r·SIN(x)^2 + 2·r·SIN(x)·COS(x)
y = 4·r·SIN(x)·COS(x) anche y = 2·r·SIN(2·x)
In particolare per r=1
y = 2·SIN(2·x)
e, con le limitazioni imposte dal problema, il seguente grafico:
90142
punti
Genius II
