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Moto Rettilineo

  

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In un test per automobili viene
percorso più volte lo stesso breve tratto rettilineo.
In media l'automobile affronta il primo tratto con
un'accelerazione costante di 2,5 m/s?, mentre nel
tratto immediatamente successivo rallenta con
una decelerazione di 3,5 m/s?, fino a fermarsi.
Calcola la durata massima di ogni test, sapendo
che il tratto percorso è lungo meno di 2 km.

soluzione (52s)

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5 Risposte



5

@andrea_bergamini 

Legge oraria e legge della velocità per il tratto in accelerazione:

{s1 = (1/2)*2,5* t1²

{vf1 = 2,5* t1

 

Legge oraria e legge della velocità per il tratto in decelerazione:

{s2 = Vf1* t2 - (1/2)* 3,5 * t2²

 

Con : Vf1 = 2,5*t1 si ottiene :

{s2 = 2,5* t1 * t2 - (1/2)*3,5* t2²

{0 = Vf1 - 3,5 * t2

 

Uguagliando le due leggi della velocità otteniamo:

2,5 * t1 = 3,5* t2

Da cui si ricava:

 

t2= (2,5/3,5)* t1

 

Imponendo la condizione che s1+s2= 2000 m, si ottiene:

 

0,35* t1² + 2,5* (2,5/3,5)* t1² = 2000

2,13* t1² = 2000

t1 = 30,6 s

 

Dalla relazione: 

t2= (2,5/3.5)*t1 

 

si ricava il valore di t2:

t2= (2.5/3.5)* 30,6 = 21,8 s

 

Somma dei tempi:

t1 + t2 = 52,4s

 



4

In un test per automobili viene percorso più volte lo stesso breve tratto rettilineo.
In media l'automobile affronta il primo tratto con un'accelerazione costante di 2,5 m/s^2, mentre nel tratto immediatamente successivo rallenta con una decelerazione di 3,5 m/s^2, fino a fermarsi.
Calcola la durata massima di ogni test, sapendo che il tratto percorso è lungo meno di 2 km.

i tempi sono inversamente proporzionali alle accelerazioni

2.000*2 = 2,5t1^2+3,5(2,5t1/3,5)^2 

4.000 = 2,5t1^2+3,5*0,5102t1^2

4.000 = 2,5t1^2+1,786t1^2

4.000 = 4,286t1^2

t1 = √4.000/4,286 = 30,55 sec 

t2 = 30,55*5/7 = 21,82 sec 

tempo totale t = t1+t2 = 52,37 sec 

 

image

 

 

 



3

a1 = 2,5 m/s^2:

a2 = - 3,5 m/s^2

S1 = 1/2 * (+ 2,5) * t1^2;

la velocità cresce nel tempo t1

v1 = 2,5 * t1; ( v1 è  la velocità iniziale vo per il secondo tratto

S2 = 1/2 * (- 3,5) * t2^2 + v1 * t2 ;

S2 = 1/2 * (- 3,5) * t2^2 + 2,5 t1 * t2 ;

S1 + S2 = 2000 m;

v2 finale = 0;

v2 = - 3,5 * t2 + vo

v2 = - 3,5 * t2 + 2,5 * t1 ;

- 3,5 * t2 + 2,5 * t1 = 0; si ferma;

t1 / t2 = 3,5 / 2,5;

t1 = 1,4 t2;

S1 + S2 = 2000;

1/2 * (+ 2,5) * t1^2 + 1/2 * (- 3,5) * t2^2 + 2,5 t1* t2 = 2000;

1,25 (1,4 t2)^2 - 1,75 * (t2)^2 + 2,5 * (1,4 t2) * t2 = 2000;

2,45 (t2)^2 - 1,75 t2^2 + 3,5 t2^2 = 2000;

4,2 t2^2  = 2000;

t2 = rad(2000 / 4,2) = 21,8 s;

t1 = 1,4 * 21,8 = 30,6 s.

T = t1 + t2 = 30,6 + 21,8  = 52,4 s;

Tempo totale massimo = 52 secondi circa.

Avevo sbagliato i calcoli. Ho ricalcolato.

Ciao  @andrea_bergamini

 



3

Diciamo t1 il tempo in cui termina la prima fase

s1 = a1/2 t1^2 e v1 = a1 t1

per il secondo tratto s2 = a1 t1 t2 - a2/2 t2^2

v2 = 0 = a1 t1 - a2 t2

s1 + s2 = 2000

a1/2 t1^2 + a1 t1 * a1/a2 t1 - a2/2 a1^2/a2^2 t1^2 = 2000

t1^2 ( a1/2 + a1^2/a2 - a1^2/(2a2) ) = 2000

t1^2 ( a1/2 + a1^2/(2a2) ) = 2000

t1^2 * (a1 a2 + a1^2)/(2a2) = 2000

t1^2 = 2000* 2a2/[a1 (a1 + a2) ]

t1 = rad[(2000*2*3.5)/(2.5*(2.5 + 3.5)) = rad(14000/15)

T = t1 + t2 = t1 + a1t1/a2 = t1 (1 + a1/a2 ) = t1 (a1 + a2)/a2

T = 6/3.5 * rad(14000/15) = 12/7 rad(2800/3) s = 52.37 s



2

Facciamo che sia un punto materiale che parte da fermo (avresti dovuto scriverlo!) con accelerazione positiva e costante di modulo a per x metri fino all'istante q e poi frena con accelerazione negativa e costante di modulo b > a fino a fermarsi nell'istante T?
Così siamo autorizzati a usare il modello MRUA
* s(t) = S + (V + (a/2)*t)*t
* v(t) = V + a*t
senza troppi distinguo preliminari.
------------------------------
PRIMO TRATTO
* S = 0
* V = 0
* a = 2,5 = 5/2 m/s^2
* s(t) = (5/4)*t^2
* v(t) = (5/2)*t
quindi
* (s(q) = (5/4)*q^2 = x) & (q > 0) ≡ q = 2*√(x/5)
* v(q) = (5/2)*2*√(x/5) = √(5*x)
SECONDO TRATTO
* S = x
* V = √(5*x)
* a = - 3,5 = - 7/2 m/s^2
* s(t) = x + (√(5*x) - (7/4)*(t - 2*√(x/5)))*(t - 2*√(x/5)) =
= (- 35*t^2 + 48*(√(5*x))*t - 48*x)/20
* v(t) = √(5*x) - (7/2)*(t - 2*√(x/5)) =
= (24*√(5*x) - 35*t)/10
------------------------------
"fino a fermarsi nell'istante T"
* v(T) = (24*√(5*x) - 35*T)/10 = 0 ≡ T = (24/7)*√(x/5)
* s(T) = (- 35*((24/7)*√(x/5))^2 + 48*(√(5*x))*(24/7)*√(x/5) - 48*x)/20 =
= (12/7)*x
------------------------------
"il tratto percorso è lungo meno di 2 km"
* (12/7)*x < 2000 ≡ x < 3500/3 = 1166.(6)
------------------------------
"Calcola la durata massima di ogni test"
Massimizzare (24/7)*√(x/5) col vincolo 0 < x < 3500/3 è banale: osservando che y = √x è la semiparabola superiore di x = y^2, si calcola il tempo massimo come
* (24/7)*√((3500/3)/5) = (80/7)*√21 ~= 52.372 s



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