Moto parabolico: il balzo di due gatti spaventati

Le due velocità sono uguali in modulo (cambiano le loro due componenti orizzontale e verticale)

Scriviamo le leggi orarie in generale dei due gatti:

{x = η·t moto orizzontale

{y = h + μ·t - 1/2·g·t^2 moto verticale

{v = μ - g·t (variazione della velocità in verticale)

avendo indicato con [η, μ] le due componenti della velocità iniziale

h = 2 m l'altezza della staccionata

g = 9.806 m/s^2 l'accelerazione di gravità

Gatto 1

[3,0] velocità iniziale

{x = 3·t

{y = 2 + 0·t - 1/2·9.806·t^2

{v = 0 - 9.806·t

Per y=0 m 

0 = 2 + 0·t - 1/2·9.806·t^2----> 0 = 2 - 4903·t^2/1000

t = -0.6386810802 ∨ t = 0.6386810802

t = 0.639 s (circa)

v = 0 - 9.806·0.639---> v = -6.266 m/s

V1 = √(3^2 + (-6.266034)^2)  = 6.95 m/s (circa)

Gatto 2

[3·√2/2, 3·√2/2] velocità iniziale

{x = 3·√2/2·t

{y = 2 + 3·√2/2·t - 1/2·9.806·t^2

{v = 3·√2/2 - 9.806·t

0 = 2 + 3·√2/2·t - 1/2·9.806·t^2

0 = - 4903·t^2/1000 + 3·√2·t/2 + 2

t = 0.890651939 ∨ t = -0.4579943123

t = 0.891 s (circa)

v = 3·√2/2 - 9.806·0.891---> v = -6.616 m/s

V2 = √((3·√2/2)^2 + (-6.616)^2) = 6.95 m/s (circa)

a) Analisi energetica

Risposta banale : applicando la conservazione dell'energia meccanica Em = Ek+U si ha l'immediata risposta che i due gatti, a parità di altezza ho e velocità Vo iniziali, non possono che avere la stessa velocità finale V ; quel che cambia sono il tempo t di permanenza in aria e la distanza orizzontale d dalla staccionata alla quale atterrano .

velocità finale V = √Vo^2+2*g*ho = √3^2+19,612*2 = 6,944 m/s 

b) analisi cinematica

b.1 gatto N°1

tempo di caduta al suolo t = √2ho/g = √4/9,806 = 0,6387 s

modulo di Vy = g*t = 0,6387*9,806 = 6,263 m/s 

modulo di V = √Vo^2+Vy^2 = √ 6,263^2+3^2 = 6,944 m/s 

b.2 gatto N° 2 

0-ho = Vo*sin 45*t'-g/2*t'^2

-2-3*0,707t'+4,903t'^2 = 0 

t' = (2,121+√2,121^2+19,612*2)/9,806 = 0,8906 s

modulo di V'y =Vo*sin 45°-g*t'  = 2,121*-0,8906*9,806 = 6,612 m/s

modulo di V = √(Vo^2)/2+Vy^2 = √6,612^2+3^2/2 = 6,944 m/s 

...QED