[Risolto] Moto parabolico ES.

Un pallone lanciato con una velocità V = 8.7 m/s NON HA UN MOTO PARABOLICO perché a quella velocità un oggetto leggero (m < 600 g) di forma sferica (Cx ~= 1/2) e di grande sezione (S ~= 400 cm^2) risente dell'attrito viscoso con intensità NON TRASCURABILE.
Per ottenere, come da titolo, un esercizio sul moto parabolico è sufficiente sostituire "pallone" con "punto materiale".
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Un punto materiale lanciato, con velocità di modulo V m/s e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]), dall'origine nel primo quadrante di un riferimento Oxy soggetto a gravità terrestre ha un moto parabolico governato da
* vx(t) = V*cos(θ)
* x(t) = V*cos(θ)*t
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
* y(t) = (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
cioè ha
* posizione istantanea P(x(t), y(t))
* velocità istantanea v(t) = (Vx(t), vy(t))
La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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La massima altezza è quella del vertice della traiettoria parabolica e il tempo di culminazione è l'istante T in cui la velocità di salita s'azzera
* vy(T) = V*sin(θ) - g*T = 0 ≡ T = V*sin(θ)/g
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Con i dati del testo e con il valore standard SI per g si ha
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* θ = 60°
* V = 87/10 m/s
* T = V*sin(θ)/g = (87/10)*sin(60°)/g = (87*√3/20)/9.80665 ~= 0.768 s
* y(T) = ((87/10)*sin(60°) - (g/2)*(87/10)*sin(60°)/g)*(87/10)*sin(60°)/g =
= 22707/(800*g) = 22707/(800*9.80665) ~= 2.89 m
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La quota metà di quella di culmine
* y(T)/2 = 22707/(1600*g)
è attinta due volte, prima in salita e poi in discesa, agl'istanti t radici dell'equazione
* y(t) = ((87/10)*sin(60°) - (g/2)*t)*t = 22707/(1600*g) ≡
≡ t = 87*(2*√3 ± √6)/(40*g) ≡
≡ t1 = 87*(2*√3 - √6)/(40*9.80665) ~= 0.225 s
oppure
≡ t2 = 87*(2*√3 + √6)/(40*9.80665) ~= 1.311565 ~= 1.312 s

Un pallone viene lanciato con una velocità iniziale Vo =8,7 m/s e con un'inclinazione di 60° rispetto l'orizzontale.
Determina la massima altezza h che il pallone può raggiungere.

velocità iniziale verticale Voy = Vo*sin 60° = 8,7*0,866 = 7,534 m/sec 

h = Voy^2/2g = 7,534^2/19,612 = 2,894 m 

 
Determinare inoltre (t) quando il pallone si trova ad h/2.

2,894/2 = Voy*t-g/2*t^2 

1,447-7,534t+4,903t^2 = 0 

tempo t = (7,534±√7,534^2-1,447*4*4,903)/9,806 = ( 0,2250 ; 1,312 ) sec , il minore in fase ascendente ed il maggiore in fase discendente