moto parabolico

Cominciamo dal facile 

a) moto naturale del piattello

range G = Vo^2/g*sen 2*Θo = 30^2/9,806*0,866 = 79,5 m 

b) piattello colpito ad altezza h 

altezza h = (Vo*sen Θo)^2/2g = (30*0,5)^2/19,612 = 11,5 m 

velocità orizzontale Vx = Vox = 30*cos 30° = 30*0,866 = 26,0 m/sec

Q. di M. orizzontale Qo = Vx*mpi = 26*0,25 = 6,50 kg*m/sec

range G' = G/2 = 39,75 m (simmetria della parabola naturale) 

Q. di M. verticale Qv = Vp*mpr = 200*0,015 = 3,0 kg*m/sec  ... che si conserva 

velocità verticale Vy dell'assieme piattello +proiettile 

Vy = Qv/(mpi+mpr) = 3/(0,25+0,015) = 11,32 m/sec 

evoluzione moto verticale :

(0-h) = Vy*t'-g/2*t'^2

-11,5-11,32*t'+4,903*t'^2 = 0

tempo di ricaduta t' = (11,32+√11,32^2+11,5*4*4,903)/9,806 = 3,072 sec 

range G'' = Vx*t' = 30*0,866*3,072 = 79,8 m 

range complessivo Gt = G'+G'' = 39,75+79,8 = 119,5 m 

extra range ΔG = Gt-G = 119,5-79,5 = 40,0 m 

sopraelevazione Δh = Vy^2/2g = 11,32^2/19,612 = 6,53 m 

Proiettile e piattello sono punti materiali.
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Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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DAL LANCIO FINO AL CULMINE (parabola originaria)
* h = 0 m
* V = 30 m/s
* θ = 30° = π/6
* x(t) = 30*cos(π/6)*t = (15*√3)*t
* y(t) = 0 + (30*sin(π/6) - (g/2)*t)*t = (15 - (g/2)*t)*t
* vy(t) = 30*sin(π/6) - g*t = 15 - g*t
La traiettoria è
* (x = (15*√3)*t) & (y = (15 - (g/2)*t)*t) ≡
≡ y = ((450*√3)*x - g*x^2)/1350
che s'annulla al lancio e alla gittata
* xMax = 450*√3/g
e culmina a metà gittata in
* C(225*√3/g, 225/(2*g))
all'istante T = 15/g in cui vy(T) = 0.
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CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA' DI MOTO
* M = 0.25 = 1/4 kg
* m = 15 g = 3/200 kg
Nel punto C, per definizione di culmine, il piattello ha velocità solo orizzontale mentre il proiettile che gli s'incorpora ha velocità solo verticale.
L'urto totalmente anelastico fra M = 1/4 kg con velocità (15*√3, 0) m/s e m = 3/200 kg con velocità (0, 200) m/s applica, alla massa unita (m + M), una velocità V che è la media delle due ponderata dalle masse
* v = ((1/4)*(15*√3, 0) + (3/200)*(0, 200))/(1/4 + 3/200) = ((750/53)*√3, 600/53)
di modulo
* V = (150/53)*√91 ~= 27 m/s
e alzo
* θ = arctg((600/53)/((750/53)*√3)) =
= arctg(4/(5*√3)) ~= 0.43 rad ~= 25°
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DAL CULMINE ORIGINARIO FINO AL SUOLO
Equazioni
* x(t) = 225*√3/g + ((750/53)*√3)*t
* y(t) = 225/(2*g) + (600/53 - (g/2)*t)*t
* vy(t) = 600/53 - g*t
Nuovo culmine
* vy(T) = 600/53 - g*T = 0 ≡ T = 600/(53*g)
* x(T) = 225*√3/g + ((750/53)*√3)*600/(53*g) = 1082025*√3/(2809*g)
* y(T) = 225/(2*g) + (600/53 - (g/2)*600/(53*g))*600/(53*g) = 992025/(5618*g)
Fine volo
* y(t) = 225/(2*g) + (600/53 - (g/2)*t)*t = 0 ≡
≡ t = 15*(40 + √4409)/(53*g)
* x(t) = 225*√3/g + ((750/53)*√3)*15*(40 + √4409)/(53*g) =
= 225*(4809*√3 + 50*√13227)/(2809*g)
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RISPOSTE AI QUESITI
In assenza di dati sull'accelerazione di gravità si usa lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
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A) Aumento di quota del culmine
* Δh = 992025/(5618*g) - 225/(2*g) = 180000/(2809*g) ~=
~= 180000/(2809*9.80665) = 6.534 m
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B) Aumento di gittata al suolo
* Δx = 225*(4809*√3 + 50*√13227)/(2809*g) - 450*√3/g =
= 225*(50*√13227 - 809*√3)/(2809*g) ~=
~= 35.524 m