[Risolto] moto parabolico

Durante una partita di rugby la palla esce dal campo e Matteo va a recuperarla. La rilancia calciandola con un angolo di 45°, ma in corrispondenza del punto più elevato della traiettoria c’è una rete di recinzione alta 5,0 m.

a) a quale velocità deve lanciare la palla per essere sicuro di superare l’ostacolo?

b) in questa ipotesi a che distanza da Matteo e con quale velocità ricade la palla

a)14 m/s b) 20m.

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Senza considerare l'attrito dell'aria:

a)

Componente verticale della velocità iniziale:

$5 = \frac{(v_{0y})^2}{2g}$

$5×2g = (v_{0y})^2$

$10g = (v_{0y})^2$

$\sqrt{10g} = \sqrt{(v_{0y})^2}$

$\sqrt{10×9,8066} = \sqrt{(v_{0y})^2}$

$9,9 = v_{0y}$

velocità a cui deve lanciare la palla $v_0= \frac{9,9}{sen(45°)}= 14~m/s$.

b)

La velocità di caduta è uguale a quella di partenza, la traiettoria è isocrona e simmetrica, cioè $14~m/s$;

distanza di caduta da Matteo = gittata (con angolo a 45°):

$L= \frac{v_0^2}{g}= \frac{14^2}{9.8066}≅20~m$.

Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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NEL CASO IN ESAME
Dai dati e dalle leggi del moto
* h = 0
* V = incognita del problema
* θ = 45°
si ha la traiettoria
* x(t) = V*(1/√2)*t ≡ t = (√2/V)*x
* y(t) = 0 + (V*(1/√2) - (g/2)*t)*t ≡
≡ y = (V*(1/√2) - (g/2)*(√2/V)*x)*(√2/V)*x
che ha il vertice in (V^2/(2*g), V^2/(4*g))
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a) "per essere sicuro di superare l’ostacolo" si deve avere
* V^2/(4*g) >= 5 ≡
≡ V >= 2*√(5*g) = 2*√(5*9.80665) ~= 14.0047 ~= 14 m/s (~= 50.4 km/h)
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b1) distanza d'impatto
Per simmetria della parabola, la gittata xMax è il doppio dell'ascissa di vertice
* xMax = 2*V^2/(2*g) = (2*√(5*9.80665))^2/9.80665 = 20 m
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b2) velocità d'impatto = pari pari a quella di lancio avendo finto di avere una palla che fosse un punto materiale invece d'essere un ellissoide prolato.

Essendo l'angolo di 45 gradi, il modulo della velocità iniziale è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele, avente come cateti v0_x = v0_y

Dalla legge oraria del moto e dalla legge della velocità si ricava:

v0_y = radice (2*g*h_max) = 9,90  m/s

L'ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele è uguale al ceteto per radice 2.

v0 = v0_y * radice (2) = 9,90*radice (2) =~ 14 m/s

Supposto che non ci siano forze dissipative, si applica il teorema di conservazione dell'energia meccanica. Quindi il modulo della velocità finale è v0. (vf_y = - v0_y) 

Il moto è rettilineo uniforme lungo l'asse x.

V0_x = costante 

angolo 45° => v0_x = v0_y 

La gittata è:

G= v0_x * t = v0_x * 2*t_h_max = v0_x * (2*v0_y) /g = 2* (v0 _y²) /g

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

G= (2*9,90²)/9,806 =~ 20  m

h = 5,0 = Voy^2/2g 

Voy = √98,06 = 9,90 m/sec 

Vo = Voy/sen 45° = 9,90/0,707 = 14,0 m/sec 

gittata G = Vo^2/g *sen (2*45°) = 196/9,806 = 20,0 m 

modulo di Vfin = modulo di Vo (conservazione dell'energia)