Moto nel piano

Question

Un punto materiale si muove nel piano Oxy. La sua velocità istantanea è descritta dal vettore $\vec{v}(t)$ di componenti:
$$
v_x(t)=\frac{2 t}{1+t^2} \quad \text { e } \quad v_y(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}
$$
dove $v_x$ e $v_y$ sono espresse in $m / se t$ in s, con $t \geq 0 s$.
Determina il modulo $|\vec{v}(t)|$ della velocità in funzione del tempo e calcola $\lim _{t \rightarrow+\infty}|\vec{v}(t)|$ Stabilisci se esistono istanti di tempo in cui la direzione del moto è parallela alla retta di equazione $y=x$. $\left[\frac{t \sqrt{5+t^2}}{1+t^2} ; 1,0 m / s ; 1,7 s \right]$

Avrei bisogno dell’ultima richiesta del primo problema, ovvero “stabilisci se esistono istanti di tempo in cui la direzione del moto è parallela alla fetta di equazione y=x”. Grazie

Autore

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Giulietta03

(@giulietta03)

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04/01/2023 22:51

LucianoP · Accepted Answer

Foto dritte! [attach]33209[/attach] [η, μ] sono le componenti della velocità. {η = 2·t/(1 + t^2) {μ = t/√(1 + t^2) Quindi:  v = √(η^2 + μ^2) v = √((2·t/(1 + t^2))^2 + (t/√(1 + t^2))^2) v = √(t^2·(t^2 + 5)/(t^2 + 1)^2) v = √(t^2 + 5)·t/(t^2 + 1) con t>=0 Deve essere: 2·t/(1 + t^2) = t/√(1 + t^2) (1 + t^2)/2 = √(1 + t^2) t = -i ∨ t = i ∨ t = - √3 ∨ t = √3 s v = √(√3^2 + 5)·√3/(√3^2 + 1)----> v = √6/2 m/s

exProf · Answer

* V(t) = |v(t)| = √((2*t/(1 + t^2))^2 + (t/√(1 + t^2))^2) =
= (t/(1 + t^2))*√(5 + t^2)
* lim_(t → ∞) V(t) = 1
in quanto
* √(5 + t^2) cresce come t
* il numeratore t*√(5 + t^2) cresce come t^2
* il denominatore (1 + t^2) cresce come t^2
* il limite è il rapporto fra i coefficienti direttori: 1/1 = 1.
---------------
La direzione del moto (cioè della v(t)) è parallela alla bisettrice dei quadranti dispari (cioè ha pendenza uno) se e solo se le componenti di v(t) sono eguali
* (2*t/(1 + t^2) - t/√(1 + t^2) = 0) & (t >= 0) ≡
≡ (t = 0) oppure (2/(1 + t^2) - 1/√(1 + t^2) = 0) & (t > 0) ≡
≡ (t = 0) oppure (t = √3)

exProf

(@exprof)

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05/01/2023 11:46

Moto nel piano

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