Moti rettilinei

La Legge del moto del primo corpo materiale è

\[x_m(t) = v_m \cdot t\,.\]

Il secondo corpo materiale parte dopo $1,2\: s$ con accelerazione costante. La sua posizione in funzione della variabile temporale è

\[x_p(t) = \begin{cases}0 \quad t \leq t_{rit} \\ \frac{1}{2}a(t - t_{rit})^2 \quad t > t_{rit} \end{cases}\]

Quindi per $t > 1,2\: s\,$:

\[x_p(t) = \frac{1}{2} \cdot 6,8 \cdot (t - 1,2)^2\,.\]

I due corpi si trovano nello stesso intorno topologico se

\[x_m(t) = x_p(t) \implies 24t = \frac{1}{2} \cdot 6,8 \cdot (t - 1,2)^2\,.\]

Risolvendo tale equazione quadratica si ricava l'istante temporale di incontro.

La distanza percorsa dal primo corpo si calcola come

\[d_m = v_m \cdot t\,.\]

La velocità del secondo corpo, invece, come

\[v_p = a \cdot (t - t_{rit})\,.\]

Basta calcolare e sostituire.

Ripasso
I modelli matematici necessari alla risoluzione sono quelli dei due più comuni moti rettilinei del punto materiale
A) uniformemente accelerato (MRUA) per l'automobile
B) uniforme (MRU) per la motocicletta
Con i nomi simbolici
* t = tempo segnato dal cronometro di sistema
* a = accelerazione costante
* S = posizione all'istante t = 0
* V = velocità all'istante t = 0
* s = posizione all'istante t > 0
* v = velocità all'istante t > 0
si scrivono i modelli
MRUA
* s(t) = S + (V + (a/2)*t)*t
* v(t) = V + a*t
MRU (è il MRUA con a = 0)
* s(t) = S + V*t
* v(t) = V
Esercizio
si risolve l'esercizio stabilendo due cose
1) un solo riferimento (ascisse e tempi) per fare un unico sistema dei due punti materiali
* origine dei tempi: t = 0 nell'istante del sorpasso
* origine delle ascisse: s = 0 nella posizione del sorpasso
2) lo stato del sistema all'istante T > 0 in cui le posizioni dei due punti materiali coincidono
con i dati della motocicletta
* S = 0
* V = 24 m/s
e i dati dell'automobile
* S = 0
* V = 0
* a = 6,8 = 34/5 m/s
* Δt = 1,2 = 6/5 s = ritardo
si particolarizzano i modelli generali
MRU
* s(t) = 24*t
* v(t) = 24
MRUA
* s(t) = (17/5)*(t - 6/5)^2
* v(t) = (34/5)*t
e, finalmente, si possono dare le
Risposte ai quesiti (modificate dopo mezz'ora)
a) Dopo quanto tempo l'auto della polizia raggiunge la moto?
* ((17/5)*(T - 6/5)^2 = 24*T) & (T > Δt) ≡
≡ (T^2 - 804*T/85 + 36/25 = 0) & (T > 6/5) ≡
≡ ((T = 6*(67 - 10*√42)/85) oppure (T = 6*(67 + 10*(√42)/85)) & (T > 6/5) ≡
≡ T = 6*(67 + 10*√42)/85 ~= 9.304 s
b) Quanti chilometri avrà percorso la moto quando l'auto la raggiunge?
* s(T) = 24*6*(67 + 10*√42)/85 ~= 2355/634 m = 471/126800 ~= 0.00371 km
c) Qual è la velocità dell'auto della polizia quando raggiunge la moto?
* v(T) = (3600/1000)*(34/5)*6*(67 + 10*√42)/85 ~= 227.8 km/h

L'origine degli spazi e dei tempi é dove/quando

la moto sorpassa la polizia : le leggi orarie sono quindi

xA = 24 t

xP = 1/2 * 6.8 (t - 1.2)^2 (t >= 1.2 s)

xP = 0 per tempi precedenti.

e quindi lo schema risolutivo é il seguente

a) 3.4 (T - 1.2)^2 = 24 T

b) D = 24 T

c) 6.8 (T - 1.2)

3.4 T^2 - 32.16 T + 4.896 = 0

T = (16.08 +- sqrt (258.5664 - 16.646))/3.4 = 9.304 s

la condizione T > 1.2 s impone di scartare la radice minore

per cui

a) T = 9.304 s

b) D = 223.3 m

c) = 6.8 * 8.104 = 55.11 m/s = 198.4 km/h

Controlla i calcoli.