Un'impresa agricola vuole costruire un serbatoio in metallo per la raccolta dell'acqua piovana, di capacità 100m^3. Sapendo che il materiale costa € 10 al m^2, determina la misura del raggio di base e dell'altezza che minimizzano i costi.
Un'impresa agricola vuole costruire un serbatoio in metallo per la raccolta dell'acqua piovana, di capacità 100m^3. Sapendo che il materiale costa € 10 al m^2, determina la misura del raggio di base e dell'altezza che minimizzano i costi.
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Livello 0
@Seilu
Non sei molto precisa/o; invece di "serbatoio" avresti dovuto scrivere "serbatoio cilindrico" almeno la seconda volta e magari precisare se lo si vuole aperto o chiuso. Meno male che sono notizie deducibili dal contesto, però le prossime volte copia tutto carattere per carattere: le ambiguità sono irritanti.
"la misura del raggio di base e dell'altezza" vuol dire "cilindrico"; i parallelepipedi e le sfere non hanno raggio di base, gli ellissoidi non hanno raggio.
"per la raccolta dell'acqua piovana" vuol dire "chiuso"; se fosse aperto le polveri, il contatto atmosferico, i detriti occasionali inquinerebbero l'acqua rendendola non più potabile. Quando abitavo in campagna, a quattro km dal paese più vicino, si usava l'acqua piovana della cisterna per bere, cucinare e lavare la faccia; l'acqua dei pozzi per lavarsi e per irrigare (a me decenne toccavano i semenzai del tabacco, le ruddre [dal latino "areola"]: va a sapere che poi avrei annaffiato germogli umani per quarant'anni!). Le cisterne sono chiuse, se sono molto grandi ci si mette una famiglia di rospi per tenerle pulite, ma per i 100 m^3 dell'esercizio non vale la pena.
Ciao
v = pi·r^2·h; v = 100 m^3
100 = pi·r^2·h -------> h = 100/(pi·r^2)
s = 2·pi·r·h + 2·(pi·r^2) ------>s = 2·pi·r·(h + r)
c = 10·s------> c = 20·pi·r·(h + r)-----> c = 20·pi·r·(100/(pi·r^2) + r)
c = 20·pi·r^2 + 2000/r sono i costi!!
c'=0-------> 40·pi·r - 2000/r^2 = 0 C.N. per i punti di stazionarietà
(40·pi·r^3 - 2000)/r^2 = 0-------> 40·pi·r^3 - 2000 = 0------> r = 50^(1/3)/pi^(1/3)
Verifico che si ha un minimo:
c''=4000/r^3 + 40·pi-----> c''=4000/(50^(1/3)/pi^(1/3))^3 + 40·pi
c''= 120·pi> 0 OK è un minimo!
c = 20·pi·(50^(1/3)/pi^(1/3))^2 + 2000/(50^(1/3)/pi^(1/3))
c = 300·20^(1/3)·pi^(1/3)------> c = 1192.65 € minimo!
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Genius II
@lucianop buonasera. Non è che il serbatoio per la raccolta piovana sia aperto sopra? O mi sbaglio?
Bellissimi questi problemi.
Nell'immagine qui sotto il procedimento (cliccare per ingrandire)
$ r = \sqrt [3] {\frac {\pi}{100}} $ è punto di minimo poiché la derivata è positiva dopo questo valore per cui la funzione è crescente; viceversa la derivata è negativa prima di questo valore per cui la funzione è decrescente. Il valore è quindi di minimo
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Livello 2
Ciao e buonanotte. Ti riporto le parole di @exprof che ha più esperienza di noi:
""per la raccolta dell'acqua piovana" vuol dire "chiuso"; se fosse aperto le polveri, il contatto atmosferico, i detriti occasionali inquinerebbero l'acqua rendendola non più potabile. "
Mi sembra molto ragionevole nel suo commento!
Mi fido! Tanto il ragionamento resta quello.
grazie
buonanotte
EXCELL dixit :
area minima pari a 119,266 m^2 in corrispondenza di un raggio r pari a 2,515 m ed un costo minimo di 1192,66 €
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Genius II