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Minimi e massimi assoluti nella restrizione: funzione a 2 variabili

  

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Ho provato a risolvere questo esercizio di analisi 2, ma non ho le soluzioni: né il procedimento corretto né solo i valori finali da trovare. Quindi vorrei se possibile una correzione di tutto l’esercizio, tenendo conto anche dei vari cenni teorici, se sono migliorabili e se si possono rendere più precisi e specifici. Ad esempio spiegare in modo più rigoroso perché T è un insieme chiuso e perché è un insieme limitato. Anche riguardo il teorema di Weierstrass se c’è modo di scrivere più nel dettaglio i ragionamenti sulla ricerca dei massimi e minimi assoluti, il fatto che se è interno allora deve essere stazionario ecc non so se come potrei scriverlo in modo più specifico, preciso e rigoroso, dato che agli esami scritti vogliono che spieghi tutti i passaggi e i ragionamenti vari e non solo i calcoli. Anche riguardo la parametrizzazione e le coordinate polari. 

Quindi una correzione sia teorica che dei calcoli veri e propri e se eventualmente mancano altre cose da aggiungere

IMG 3481
IMG 3482

 

Autore

@damn 

perché T è un insieme chiuso? Perché contiene pure la frontiera.

(con l'= si ha una circonferenza)

perché T è un insieme limitato? Perché è possibile individuare un intorno circolare ( o rettangolare ) che contiene T

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1 Risposta



1

z = 3·x^2 + 4·y^2 - 6·x - 12

nel dominio:

x^2 + y^2 - 4 ≤ 0

Determiniamo max e o min liberi per vedere se cadono nel dominio,

{6·x - 6 = 0  (z'x=0)

{8·y = 0     (z'y=0

(condizioni necessarie)

Risolvo: [x = 1 ∧ y = 0]

1^2 + 0^2 - 4 ≤ 0   ---> true

z''x= 6

z''y=8

z''xy=z''yx=0

H(x,y)=

|6.......0|

|0.......8|

=48>0; 6>0

In [1,0] si ha un punto di minimo relativo ed assoluto

-------------------------------------------

L (x,y,λ) = 3·x^2 + 4·y^2 - 6·x - 12 + λ·(x^2 + y^2 - 4)

Lagrangiana

C.N.

{2·x·(λ + 3) - 6 = 0     (L'x=0)

{2·y·(λ + 4) = 0       (L'y=0)

{x^2 + y^2 - 4 = 0     (L'λ=0)

Il sistema fornisce soluzione:

(x = 2 ∧ y = 0 ∧ λ = - 3/2) ∨ (x = -2 ∧ y = 0 ∧ λ = - 9/2)

Quindi due punti critici:

esaminiamo l'Hessiano orlato:

H*=

|0........φ'x.........φ'y|

|φ'x.....L''xx......L''xy|

|φ'y.....L''yx.......L''yy|

Da inserire:

φ'x = 2x; φ'y =2·y

L''xx=2·(λ + 3) ; L''yy=2·(λ + 4)

L''xy=L''yx=0

H*=- 8·x^2·(λ + 4) - 8·y^2·(λ + 3)

Nei punti critici:

[2, 0, - 3/2]

- 8·2^2·(- 3/2 + 4) - 8·0^2·(- 3/2 + 3)= -80 <0

min assoluto vincolato

[-2, 0, - 9/2]

- 8·(-2)^2·(- 9/2 + 4) - 8·0^2·(- 9/2 + 3)= 16 >0 

max assoluto vincolato

Per il teorema di Weierstrass abbiamo un minimo assoluto nel punto calcolato per la funzione libera ed un massimo assoluto nel punto di sopra.

 

 

 

 

@lucianop ma quindi è sbagliato come l’ho fatto io senza Lagrange?

 

@lucianop tra l’altro è una funzione a 2 variabili quindi non capisco perché quando scrivi i punti metti 3 coordinate.

@damn

Ciao, sinceramente devo vedere cosa hai fatto tu. Forse non hai ancora svolto il metodo dei moltiplicatori di Lagrange?

@lucianop io ho risolto l’esercizio parametrizzando in coordinate polari la circonferenza per studiare la frontiera della restrizione T. Non visualizzi le foto allegate ?



Risposta
SOS Matematica

4.6
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