f(x;y) = e^(xy)
determina il minimo e il massimo assoluto di f nell’insieme A = {(x;y) appartenenti ad R^2 tali che x^(2) - 1 <= y <= 3 }
f(x;y) = e^(xy)
determina il minimo e il massimo assoluto di f nell’insieme A = {(x;y) appartenenti ad R^2 tali che x^(2) - 1 <= y <= 3 }
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Livello 1
Il dominio delle soluzioni ammissibili è chiuso e limitato. Quindi, in virtù del teorema di Bolzano- Weierstrass è ivi dotata di max e min assoluti essendo z continua in esso.
esaminiamo quindi la funzione z = e^(x·y) libera dal vincolo: x^2 - 1 ≤ y ≤ 3
{z'x=0
{z'y=0
quindi:
{y·e^(x·y) = 0
{x·e^(x·y) = 0
Quindi: x = 0 ∧ y = 0---> [0,0]
z''xx=y^2·e^(x·y) ; z''yy = x^2·e^(x·y) ;
z''xy=z''yx= e^(x·y)·(x·y + 1)
H(0,0) vale: H=-1 punto di sella
|0.......1|
|1.......0|
z=e^(0·0)=1
-------------------------------
Esaminiamo i valori sulla frontiera del dominio
per y=3:
z = e^(x·3)---> z = e^(3·x)
per x: -2 ≤ x ≤ 2
(metti a sistema parabola e retta)
essendo la funzione crescente si ha un minimo assoluto in x=-2:
z = e^(3·(-2))---> z = e^(-6) = 0.0025 circa
un massimo assoluto in x= 2:
z = e^(3·2) = e^6 = 403.43
Puoi verificare che tali valori non vengono superati lungo la frontiera:
y=x^2-1
z = e^(x·(x^2 - 1))----> z = e^(x^3 - x))
tramite la derivata: z'x=e^(x^3 - x)·(3·x^2 - 1)
Fammi sapere se è così oppure no.
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Genius II
@lucianop io oltre (-2;3) e (2;3) ho anche considerato la parametrizzazione (x; x^2 -1) = e^(x^3 -x) e quindi anche i punti x= +rad3 /3 e x= -rad3/3 (derivata prima posta uguale a 0) e dunque (rad3/3; -2/3) e (-rad3/3; -2/3) che però fanno circa 0,68 e 1,46 quindi non sono assoluti. È sbagliato considerare come candidati anche questi punti??
Sulla frontiera c'è solo un massimo ed un minimo assoluti. Quindi i valori che hai calcolato sono inutili
@lucianop si ma come faccio a saperlo a priori? Io intanto ho considerato le 2 parametrizzazioni separatamente. Ho considerato il segmento orizzontale con quota 3 quindi f (x;3) con x appartenente a [-2;2] e poi separatamente la parte mancante del bordo cioè la parte “curva” considerando f(x; x^2 -1) quindi ho preso tutti i punti candidati, poi ho fatto f(x0;y0)=… con i vari casi e ho preso il valore più alto di tutti come massimo assoluto e il valore più basso di tutti come minimo assoluto
Hai fatto bene tu a considerare anche i punti sulla frontiera definita dalla parabola