[Risolto] mi servirebbe la soluzione completa di questo fascio

Il fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + 2*(k - 1)*x - k*y - 3 = 0 ≡
≡ x^2 + 2*(k - 1)*x + y^2 - k*y - 3 = 0 ≡
≡ (x + k - 1)^2 - (k - 1)^2 + (y - k/2)^2 - (k/2)^2 - 3 = 0 ≡
≡ (x + k - 1)^2 + (y - k/2)^2 = (√(5*k^2 - 8*k + 16)/2)^2
ha
* centri C(1 - k, k/2), sulla retta y = (1 - x)/2 (asse centrale, di pendenza - 1/2)
* raggi r(k) = √(5*k^2 - 8*k + 16)/2 >= r(4/5) = 4/√5 > 0 (ogni Γ(k) reale non degenere)
La Γ(k) di minimo raggio ha
* centro Cmin(1 - 4/5, (4/5)/2) = (1/5, 2/5)
* raggio r(4/5) = 4/√5
* equazione Γ(4/5) ≡ (x - 1/5)^2 + (y - 2/5)^2 = 16/5
L'asse radicale è ortogonale (di pendenza 2) all'asse centrale, per Cmin: y = 2*x.
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I punti base, se esistono, si calcolano come intersezioni di due qualsiasi Γ(k) distinte
* Γ(0) & Γ(4/5) ≡ ((x - 1)^2 + y^2 = 4) & ((x - 1/5)^2 + (y - 2/5)^2 = 16/5) ≡
≡ A(- 3/5, - 6/5) oppure B(1, 2)
che, essendo due distinti, giacciono sull'asse radicale y = 2*x.
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Le generatrici, con l'articolo determinativo, NON ESISTONO: il fascio è generato da una combinazione lineare non banale delle forme normali canoniche di DUE QUALSIASI sue circonferenze.
Ad esempio con
* Γ(0) ≡ (x - 1)^2 + y^2 = 4 ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 3 = 0
* Γ(4/5) ≡ (x - 1/5)^2 + (y - 2/5)^2 = 16/5 ≡ 5*x^2 + 5*y^2 - 2*x - 4*y - 15 = 0
si riscrive il fascio come
* (a*(x^2 + y^2 - 2*x - 3) + b*(5*x^2 + 5*y^2 - 2*x - 4*y - 15) = 0) & (a + b ≠ 0) ≡
≡ ((a + 5*b)*x^2 + (a + 5*b)*y^2 - 2*(a + b)*x - 4*b*y - 3*(a + 5*b) = 0) & (a + b ≠ 0) ≡
≡ (x^2 + y^2 - 2*((a + b)/(a + 5*b))*x - 4*(b/(a + 5*b))*y - 3 = 0) & (a + b ≠ 0)
dal momento che
* (2*(k - 1) = - 2*(a + b)/(a + 5*b)) & (- k = - 4*b/(a + 5*b)) & (a + b ≠ 0) ≡
≡ k = 4*b/(a + 5*b)
si vede che si genera il medesimo fascio non con "LE generatrici", ma con "DUE generatrici DISTINTE".
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La tangenza con la retta
* t ≡ x + 2*y - 6 = 0 ≡ y = 3 - x/2
per i valori del parametro che rendono il raggio pari alla distanza |Ct|.
* |Ct| = r(k) ≡
≡ √5 = √(5*k^2 - 8*k + 16)/2 ≡
≡ (k = - 2/5) oppure (k = 2)
da cui le circonferenze richieste
* Γ(- 2/5) ≡ (x - 7/5)^2 + (y + 1/5)^2 = 5
* Γ(2) ≡ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 5
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-1%2F5%29%5E2%3D16%2F5-%28y-2%2F5%29%5E2%2C%28x-7%2F5%29%5E2%3D5-%28y--1%2F5%29%5E2%2C%28x--1%29%5E2%3D5-%28y-1%29%5E2%5D

x^2 + y^2 + 2·(k - 1)·x - k·y - 3 = 0

per k=0 ottengo:

x^2 + y^2 + 2·(0 - 1)·x - 0·y - 3 = 0

x^2 + y^2 - 2·x - 3 = 0

per k=1 ottengo:

x^2 + y^2 + 2·(1 - 1)·x - 1·y - 3 = 0

x^2 + y^2 - y - 3 = 0

Determino l'asse radicale per sottrazione:

{x^2 + y^2 - 2·x - 3 = 0

{x^2 + y^2 - y - 3 = 0

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(x^2 + y^2 - 2·x - 3 = 0) - (x^2 + y^2 - y - 3 = 0)

y - 2·x = 0

Poi i punti base:

{x^2 + y^2 - y - 3 = 0

{y - 2·x = 0

risolvo ed ottengo: [x = 1 ∧ y = 2, x = - 3/5 ∧ y = - 6/5]

Circonferenze del fascio tangenti alla retta data:

{x + 2·y - 6 = 0

{x^2 + y^2 + 2·(k - 1)·x - k·y - 3 = 0

per sostituzione: x = 6 - 2·y

(6 - 2·y)^2 + y^2 + 2·(k - 1)·(6 - 2·y) - k·y - 3 = 0

5·y^2 - y·(5·k + 20) + 3·(4·k + 7) = 0

Impongo condizione di tangenza:

Δ = 0

(5·k + 20)^2 - 60·(4·k + 7) = 0

sviluppo ed ottengo: 25·k^2 - 40·k - 20 = 0----> 5·(k - 2)·(5·k + 2) = 0

k = - 2/5 ∨ k = 2

per k=-2/5

x^2 + y^2 + 2·(- 2/5 - 1)·x - (- 2/5)·y - 3 = 0

x^2 + y^2 - 14·x/5 + 2·y/5 - 3 = 0

per k =2

x^2 + y^2 + 2·(2 - 1)·x - 2·y - 3 = 0

x^2 + y^2 + 2·x - 2·y - 3 = 0