Determina per quale valore di $c$ la retta $y=c$ divide la regione di piano del primo quadrante compresa tra $\gamma$ e l'asse $x$ in due parti, $A_1$ e $A_2$, in modo che $A_1$ contenga il vertice di $\gamma$ e
$$
\frac{A_1}{A_2}=\frac{1}{2 \sqrt{2}-1} . \quad\left[y=-\frac{1}{2} x^2+2 x \text {; a) } P\left(3 ; \frac{3}{2}\right) \text {; b) } 1\right]
$$
3
punti
Livello 0
Punto b richiesto
0 < c < 2
{y = - 1/2·x^2 + 2·x
{y = c
Risolvo ed ottengo i punti A e B di figura:
[x = √2·(√(2 - c) + √2) ∧ y = c, x = √2·(√2 - √(2 - c)) ∧ y = c]
Area A1
Si tratta di integrare fra √2·(√2 - √(2 - c)) e √2·(√(2 - c) + √2) la funzione differenza:
f(x)= - 1/2·x^2 + 2·x - c quindi, svolgendo i conti:
∫(- 1/2·x^2 + 2·x - c)dx = 4·√2·(2 - c)^(3/2)/3
Area A2
Si ottiene per differenza fra
Area parabola-A1
Area parabola
- 1/2·x^2 + 2·x da integrare fra 0 e 4
∫(- 1/2·x^2 + 2·x)dx=16/3
A2=16/3 - 4·√2·(2 - c)^(3/2)/3
Deve quindi essere:
4·√2·(2 - c)^(3/2)/3/(16/3 - 4·√2·(2 - c)^(3/2)/3) = 1/(2·√2 - 1)
Risolta fornisce: c = 1
Se non conosci gli integrali devi procedere come indicato al link:
94617
punti
Genius II
