[Risolto] Mi serve aiuto con le scomposizioni

@Mattia019

Senza eventuali parentesi risulta difficile interpretare correttamente il testo. Mi limito a scomporre i fattori quando possibile.

1) Trinomio speciale:

x² + sx + p = (x+a)*(x+b) 

Determino (a, b) interi / il loro prodotto = p e somma = s

Quindi: s=1, p= -6

(a^2+a-6)= (a+3)*(a-2)

2) Differenza di due quadrati:

a² - b² = (a+b)*(a-b) 

Quindi:

(4b^2-a^2) = (2b + a)*(2b - a) 

3) Differenza di due cubi:

a³ - b³ = (a-b)*(a²+ab+b²) 

Quindi:

(a^3-8b^3) = (a-2b)*(a² + 2ab + 4b²)

Non scomponibile il fattore:

(a^2+2ab+4b^2)   falso quadrato 

SEMPLIFICAZIONI
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A) La differenza di potenze con pari esponente e basi diverse è sempre divisibile per la differenza fra le basi.
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A1) 4*b^2 - a^2 = (2*b)^2 - a^2 = (2*b - a)*(2*b + a)
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A2) a^3 - 8*b^3 = a^3 - (2*b)^3 = (a - 2*b)*(a^2 + 2*a*b + 4*b^2)
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B) Il trinomio quadratico in una sola variabile, monico, è sempre scomponibile con la procedura che Bramegupta pubblicò nel VII secolo.
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B1) Completare il quadrato dei termini variabili, sostituire, ridurre.
* a^2 + a = (a + 1/2)^2 - (1/2)^2
* a^2 + a - 6 = (a + 1/2)^2 - (1/2)^2 - 6 = (a + 1/2)^2 - 25/4
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B2) Scrivere il termine noto come opposto di un quadrato.
* a^2 + a - 6 = (a + 1/2)^2 - 25/4 = (a + 1/2)^2 - (5/2)^2
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B3) Applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati" (v. A1), ridurre.
* a^2 + a - 6 = (a + 1/2)^2 - (5/2)^2 =
= (a + 1/2 - 5/2)*(a + 1/2 + 5/2) = (a + 3)*(a - 2)
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C) Il trinomio quadratico omogeneo in due variabili è sempre riducibile a un quadrato di binomio, eventualmente più o meno una differenza (cioè non un quadrato esatto).
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C1) a^2 + 4*b^2 + 2*a*b = a^2 + 2*a*b + 4*b^2 = (a + b)^2 + 3*b^2
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ESERCIZI (a = ciò che hai scritto; b = una pensata maligna)
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1a) ((a^2 + a - 6)/(4*b^2 - a^2))*(a^2 + 4*b^2 + 2*a*b) =
= (a + 3)*(a - 2)*(a^2 + 4*b^2 + 2*a*b)/((2*b - a)*(2*b + a))
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1b) (a^2 + a - 6)/((4*b^2 - a^2)*(a^2 + 4*b^2 + 2*a*b)) =
= (a + 3)*(a - 2)/(((2*b - a)*(2*b + a))*(a^2 + 4*b^2 + 2*a*b))
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2a) ((a^3 - 8*b^3)/(4*b^2 - a^2))*(a^2 + 2*a*b + 4*b^2) =
= ((a - 2*b)*(a^2 + 2*a*b + 4*b^2)/((2*b - a)*(2*b + a)))*(a^2 + 2*a*b + 4*b^2) =
= (- (a^2 + 2*a*b + 4*b^2)/(2*b + a))*(a^2 + 2*a*b + 4*b^2) =
= - (a^2 + 2*a*b + 4*b^2)^2/(2*b + a)
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2b) (a^3 - 8*b^3)/((4*b^2 - a^2)*(a^2 + 2*a*b + 4*b^2)) =
= (a - 2*b)*(a^2 + 2*a*b + 4*b^2)/((2*b - a)*(2*b + a)*(a^2 + 2*a*b + 4*b^2)) =
= - (a^2 + 2*a*b + 4*b^2)/((2*b + a)*(a^2 + 2*a*b + 4*b^2)) =
= - 1/(2*b + a)