Mi serve aiuto con il numero 599

@Elmerinda 

Ciao. Foto almeno dritta!

k·x^2 - 2·(k + 1)·x + (k + 2) = 0

Δ/4 ≥ 0

(k + 1)^2 - k·(k + 2) ≥ 0

(k^2 + 2·k + 1) - (k^2 + 2·k) ≥ 0

1 ≥ 0 Sempre vero

Soluzioni reali per ogni k

Diciamo α e β le radici dell'equazione

α^2 + β^2 = 5

Riscriviamo:

(α + β)^2 - 2·α·β = 5

(2·(k + 1)/k)^2 - 2·(k + 2)/k = 5

(- 3·k^2 + 4·k + 4)/k^2 = 0

- 3·k^2 + 4·k + 4 = 0

Risolta  fornisce: k = - 2/3 ∨ k = 2

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1/α + 1/β = 4-------> (α + β)/(α·β) = 4

2·(k + 1)/k/((k + 2)/k) = 4-----> 2·(k + 1)/(k + 2) = 4

2·(k + 1)/(k + 2) - 4 = 0---->- 2·(k + 3)/(k + 2) = 0---->  k = -3

L'equazione
* k*x^2 - 2*(k + 1)*x + (k + 2) = 0
ha parametrici tutt'e tre i coefficienti, quindi presenta tre casi particolari di cui però interessa solo quello di apertura nulla col relativo calo di grado.
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Per k = 0
* - 2*x + 2 = 0 ≡ x = 1 reale.
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Per k != 0
* k*x^2 - 2*(k + 1)*x + (k + 2) = 0 ≡
≡ x^2 - 2*((k + 1)/k)*x + (k + 2)/k = 0 ≡
≡ T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
con
* s = 2*(k + 1)/k
* p = (k + 2)/k
il trinomio quadratico monico T(x) ha discriminante
* Δ = s^2 − 4*p = (2*(k + 1)/k)^2 − 4*(k + 2)/k = (2/k)^2 > 0
e zeri
* X1 = (s - √Δ)/2 = (2*(k + 1)/k - 2/k)/2 = 1 reale
* X2 = (s + √Δ)/2 = (2*(k + 1)/k + 2/k)/2 = 1 + 2/k reale.
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La somma dei quadrati delle radici è
* (X1)^2 + (X2)^2 = (1)^2 + (1 + 2/k)^2 = 2*(k^2 + 2*k + 2)/k^2
quindi
* 2*(k^2 + 2*k + 2)/k^2 = 5 ≡
≡ 5*k^2 - 2*(k^2 + 2*k + 2) = 0 ≡
≡ 3*(k + 2/3)*(k - 2) = 0 ≡
≡ (k = - 2/3) oppure (k = 2)
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La somma dei reciproci delle radici è
* 1/X1 + 1/X2 = 1/1 + 1/(1 + 2/k) = 2 - 2/(k + 2)
quindi
* 2 - 2/(k + 2) = 4 ≡
≡ 4 - (2 - 2/(k + 2)) = 0 ≡
≡ 2*(k + 3)/(k + 2) = 0 ≡
≡ k = - 3