Mi potreste aiutare? Ringrazio in anticipo

$(a)$

Siccome la densità del legno è minore della densità dell'acqua, il corpo tenderà a galleggiare. L'equilibrio del volume di legno considerato si realizza se è verificata la condizione dinamica:

$\overrightarrow{F}^{(S)} +\overrightarrow{F}^{(V)} = \overrightarrow{F}^{(S)}+\overrightarrow{G}m = 0$

dove $\overrightarrow{F}^{(S)}$ è il risultante delle forze di superficie attive, esercitate dal liquido, sulle facce del cubo. E' bene notare che le forze di superficie agenti sulle facce laterali della parte immersa del cubo hanno risultante nullo, per ragioni di simmetrie. Pertanto, l'unica forza di superficie non nulla della parte immersa del cubo è quella agente sulla base inferiore. Per quanto riguarda la spinta di Archimede consideriamo trascurabile l'effetto dell'aria sulla parte emersa. D'altro canto la forza di volume è la forza peso, ed è l'unica forza di volume presente. Di conseguenza $\overrightarrow{G} =\overrightarrow{g}$ e la precedente formula assume l'espressione

$\overrightarrow{F}^{(S)}+\overrightarrow{G}m = \overrightarrow{F}^{(S)} + \overrightarrow{g}m = 0$.

Perciò, la forza agente sulla base inferiore del volume considerato ( Spinta di Archimede ) è pari a

$\|\overrightarrow{F}^{(S)}\| =mg$.

$(b)$

La massa della cavità riempita con del rame vale

$m_{1} =\rho_{1}V_{1}$.

La forza di volume agente dall'alto verso il basso, sul volume di legno, è data da

$\|\overrightarrow{F}^{(V)}\| = mg =\rho Vg$.

Nel nostro caso specifico la massa è quella di due materiali diversi, a cui competono volumi diversi, quindi:

$\|\overrightarrow{F}^{(V)}\| = (m+m_{1})g$.

Ma la massima spinta che può ricevere il cubetto considerato è data dal peso del volume di fluido pari al volume del cubo, e cioè

$\|\overrightarrow{F}^{(S)}\| = \rho_{a} Vg$,

ma

$\|\overrightarrow{F}^{(S)}\| \lt \|\overrightarrow{F}^{(V)}\| \Longleftrightarrow  \rho_{a} Vg \lt (m+m_{1})g\Longleftrightarrow m_{2} \lt m +m_{1}$.

Da ciò si conclude che il cubo, immerso in acqua, affonda.

Un cubetto di legno avente densità dl = 700 kg/m³( 0,70 kg/dm^3) e di massa m = 84,0 gr viene immerso in acqua avente densità da = 1000 kg/m³( 1,00 kg/dm^3)

a) Determina quale spinta di Archimede Bf agisce su di esso.

La densità del legno dl è < di quella dell'acqua ed il cubetto galleggia, emerso per il 30% del suo volume; la spinta di Archimede (buoyant force Bf) non può che essere pari al suo peso Fp = m*g  

Bf = m*g = 84/1000 kg * 9,806 N/kg = 0,824 N

Dal cubetto viene asportato del legno in modo che si formi una cavità di 40 cm³ che viene poi riempita con del rame (densità 8.920 kg/m³).

Volume iniziale V = m/dl = 84/0,7 = 120 cm^3

cavità Vc = 40 cm^3 

peso della sola cavità piena di rame Fpc :

Fpc = 40/1000 dm^3 * 8,92 kg/dm^3 * 9,806  N/kg = 3,50 N

spinta di Archimede sull'intero cubetto = B'f = V*da*g  :

B'f = 120/1000 dm^3 * 1,00 kg/dm^3 * 9,806 N/kg  = 1,176 N 

b) Se viene immerso nuovamente in acqua, esso galleggia o affonda? 

affonda perché il solo Fpc > spinta di Archimede B'f