[Risolto] Mi potete aiutare perfavore!!

Questo è il grafico di $2x^3+7x^2+8x+3$, puoi farlo facendo la classica tabella "$x,y$", scegliendo dei valori per le $x$ e vedendo che valori assume $y$.

Cominciamo scomponendo il polinomio con Ruffini. Facendo i calcoli otteniamo:

$2x^3+7x^2+8x+3 = (x+1)(2x^2+5x+3) $

possiamo scomporlo nuovamente ottenendo:

$(x+1)^2(x+\frac32)$

Studiamo:

$ \frac{1}{P(x)} \geq 0 $

$\frac{1}{(x+1)^2(x+\frac32)} \geq 0 $

Il numeratore è sempre positivo (e mai nullo!) quindi possiamo concentrarci sul segno del numeratore (che non può essere nullo per le condizioni di esistenza della frazione, dunque lo studiamo soltanto $> 0 $):

$(x+1)^2(x+\frac32) > 0 $ 

Fattore 1: $ (x+1)^2 > 0 \Rightarrow \forall x , x \neq -1 $

Fattore 2: $x+\frac32 >0 \Rightarrow x > -\frac32$

che facendo la tabella dei segni ci dà: $ -\frac32 < x <-1 \vee x > -1 $

Per quanto riguarda invece $P(x)^2 \leq 0 $:

essendo un quadrato, non è possibile che sia $< 0$ ma soltanto $=0$ perché un quadrato non è mai negativo, quindi il nostro studio si riduce a risolvere l'equazione:

$((x+1)^2(x+\frac32))^2 = 0 $

che è come risolvere $(x+1)^2(x+\frac32) = 0 $

che ci dà:

Fattore 1: $(x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1 $

Fattore 2: $x+\frac32 = 0 \Rightarrow x = -\frac32 $

quindi la soluzione è: $x = -\frac32 \vee x = -1$