[Risolto] Mi aiutate con i passaggi grazie la 198

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$\dfrac{1}{x}-3 = \dfrac{1+x}{x-2} $ 

$mcm = x(x-2)$ con $x\not=0; x\not=2;$

quindi:

$1(x-2)-3x(x-2) = x(1+x)$

$x-2-3x^2+6x = x+x^2$

$7x-3x^2-2 = x+x^2$

$-3x^2+7x-x^2-x = 2$

$-4x^2+6x = 2$

dividi tutto per $-2$:

$2x^2 -3x = -1$

eguaglia a zero:

$2x^2-3x+1 = 0$

equazione di secondo grado completa quindi risolvi con i seguenti dati:

$a=2;$

$b= -3;$

$c=1;$

$\Delta= b^2-4ac = (-3)^2-4×2×1 = 9-8 = 1;$

applica la formula risolutiva:

$x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2×2} = \dfrac{3\pm1}{4};$

quindi i due valori risultano:

$x_1= \dfrac{3-1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2};$

$x_2= \dfrac{3+1}{4} = \dfrac{4}{4} = 1.$

I passaggi della fase preparatoria sono i soliti.
Sottrarre membro a membro il secondo membro e porre a sistema con la condizione di esistenza (in questo caso, solo che nessun denominatore si azzeri); sviluppare, commutare, ridurre, moltiplicare membro a membro per il denominatore garentito non nullo, dividere membro a membro per il coefficiente direttore, cioè applicare ogni possibile equivalenza ("≡") fino a ottenere la forma normale canonica "polinomio monico p(x) = 0".
I passaggi della fase risolutiva sono quelli relativi al grado del polinomio p(x).
L'ultimo dev'essere "Eliminare dalla soluzione i valori da escludere in base alla condizione di esistenza scritta all'inizio".
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Esercizio 198
* 1/x - 3 = (1 + x)/(x - 2) ≡
≡ (1/x - 3 - ((1 + x)/(x - 2)) = 0) & (x ∉ {0, 2}) ≡
≡ ((1/x - 3)*(x - 2) - (1 + x) = 0) & (x ∉ {0, 2}) ≡
≡ (2*x^2 - 3*x + 1 = 0) & (x ∉ {0, 2}) ≡
≡ (x^2 - (3/2)*x + 1/2 = 0) & (x ∉ {0, 2})
Ottenuto
* p(x) = x^2 - (3/2)*x + 1/2 = 0
di grado due, le sue radici si trovano o col colpo d'occhio che riconosce i valori 1/2 e 1 tali da avere somma 3/2 e prodotto 1/2 oppure con i passaggi risolutivi relativi al grado due: completare il quadrato dei termini variabili, sottrarre membro a membro il termine noto scritto come un quadrato, estrarre membro a membro la radice quadrata, isolare l'incognita, separare le radici.
* x^2 - (3/2)*x + 1/2 = 0 ≡
≡ (x - 3/4)^2 - (3/4)^2 + 1/2 = 0 ≡
≡ (x - 3/4)^2 = (1/4)^2 ≡
≡ x - 3/4 = ± 1/4 ≡
≡ x = 3/4 ± 1/4 ≡
≡ (x = 3/4 - 1/4 = 1/2) oppure (x = 3/4 + 1/4 = 1)