Mi aiutate a risolverlo grazie mille 2 media

SOLUZIONE PRINCIPALE

Il triangolo a cui ti riferisci è un triangolo rettangolo che ha questo aspetto, nota che duplicandolo e specchiandolo posso ottenere un triangolo equiangolo, che ha tutti gli angoli di $60^{\circ}$ (il terzo angolo nel triangolo di partenza è di $30^{\circ}$ perché la somma degli angoli interni in un triangolo è sempre $180^{\circ}$, quindi $180^{\circ}-90^{\circ} -60^{\circ} = 30^{\circ}$, quindi duplicandolo otteniamo un angolo di $60^{\circ}$). Il cateto maggiore è dunque l'altezza di questo triangolo che con il teorema di Pitagora, indicando il lato del triangolo equilatero con $\ell$, risulta $\overline{BC} = \sqrt{\ell^2-\frac{\ell^2}{4}} = \ell \frac{\sqrt{3}}{2}$. Sapendo che il cateto maggiore misura $8.65cm$, poniamo $\ell \frac{\sqrt{3}}{2} = 8.65cm \implies \ell \approx 9.99cm$, quindi il cateto minore risulta $\overline{AB} = \sqrt{(9.99cm)^2-(8.65cm)^2} \approx 5cm$. Possiamo calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa sapendo che l'area del triangolo sarà la stessa indipendentemente dalla base di riferimento, quindi poniamo $\frac{1}{2}\cdot 5cm \cdot 8.65cm = \frac{1}{2} \cdot 9.99cm \cdot h \implies h=\frac{5cm \cdot 8.65cm}{9.99cm} \approx 4.33cm$.

METODO ALTERNATIVO E CURIOSITÀ 

Questo problema sarebbe stato molto più semplice da risolvere se avessi potuto usare la trigonometria, guarda la seconda figura:

Nota che se l'angolo adiacente alla proiezione del cateto è di $30^{\circ}$, e l'angolo retto determinato dall'altezza è $90^{\circ}$, allora il l'angolo sull'altezza è $60^{\circ}$, proprio come l'angolo sul cateto minore nel triangolo di partenza!

Sapendo che $\cos \eta = \frac{\overline{BE}}{\overline{BC}}$, $\overline{BE} = \overline{BC} \cdot \cos \eta$, questa relazione vale in tutti i triangoli rettangoli, il rapporto tra un cateto e l'ipotenusa è uguale al seno dell'angolo adiacente, mentre il rapporto tra il cateto opposto all'ipotenusa e l'ipotenusa è il seno dell'angolo il cui cateto non è adiacente, mentre la tangente di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente all'angolo, nella nostra figura, rispetto all'angolo $\eta$, $\cos \eta = \frac{\overline{BE}}{\overline{BC}}$, $\sin \eta = \frac{\overline{EC}}{\overline{BC}}$, $\tan \eta = \frac{\overline{EC}}{\overline{BE}}$, nota come $\cos \gamma = \sin \eta,\ \cos \eta = \sin \gamma,\ \tan \gamma = \frac{1}{\tan \eta} = \cot \eta$.

Naturalmente ti starai chiedendo, ma come calcolare questi numeri misteriosi? Fortunatamente non è cosa di cui devi preoccuparti, in una calcolatrice scientifica puoi usare le funzioni trigonometriche per calcolare seno, coseno, tangente (e gli inversi, ovvero dal rapporto dei lati trovare l'angolo) semplicemente conoscendo l'angolo, basta scrivere $\cos 60$ per ottenere il coseno di un angolo di $60^{\circ}$, poi moltiplica il valore ottenuto per l'ipotenusa e ottieni il cateto desiderato (o per il cateto adiacente nel caso della tangente).

Se ti chiedi come fa la calcolatrice a calcolare questi numeri, è un po' complicato, è giusto sapere che la calcolatrice non è uno strumento magico, tutti i calcoli che la calcolatrice performa potrebbero essere eseguiti anche da un umano, le calcolatrici possono usare principalmente 3 metodi: il meno efficace è l'uso di tavole di riferimento, ovvero delle tavole dove sono già riportati i valori per una serie di angoli, quindi la calcolatrice sceglie il valore noto più vicino e restituisce il suddetto valore come risultato (questa tecnica era molto utilizzata ai tempi dei primissimi Personal Computers e della prima PlayStation!). Un secondo metodo molto comune che è in uso tutt'oggi è l'algoritmo CORDIC, che non spiegherò in questa risposta ma che puoi trovare su Wikipedia all'indirizzo Algoritmo CORDIC. Infine, il mio metodo preferito, le serie di Taylor-McLaurin, che sono delle somme infinite che se calcolate fino ad un termine abbastanza grande possono dare delle approssimazioni estremamente precise, ecco alcune serie di Taylor per le funzioni trigonometriche più comuni:

$\sin x = \displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}}$

$\cos x = \displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}}$

AC = cateto maggiore;

AC = 8,65 cm.

Se ha un angolo acuto di 60°, allora l'altro angolo acuto misura 30° perché la somma dei tre angoli interni è 180°. L'angolo retto misura 90°;

la somma dei due angoli acuti è 90°; 90° - 60° = 30°;

il triangolo azzurro ABC è la metà di un triangolo equilatero B'BC;  AC è l'altezza che divide la base B'B in due parti uguali; quindi il cateto minore  AB, di fronte all'angolo di  30° è metà dell'ipotenusa BC;

AB = BC/2

Applichiamo Pitagora:

BC^2 = AB^2 + AC^2;

BC^2 = (BC/2)^2 + 8,65^2;

BC^2 - 1/4 * (BC^2) = 74,8225;

4/4 x ( BC^2) - 1/4 * (BC^2) = 74,8225;

3/4 x ( BC^2) = 74,8225;

BC^2 = 74,8225 x 4/3;

BC = radice quadrata( 99,7633) = 9,99 cm;

ipotenusa BC = 10 cm (circa);

Cateto minore AB = 10 / 2 = 5 cm; (metà dell'ipotenusa);

Area triangolo rettangolo:

A = 5 * 8,65 / 2 = 21,625 cm^2;

altezza relativa all'ipotenusa: l'altezza ha come base l'ipotenusa = 10 cm:

h = A x 2 /base = 21,625 * 2 / 10 = 4,33 cm (circa).

Ciao @r

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Angolo acuto incognito (tra ipotenusa e cateto maggiore) $\small \beta=90-60 = 30°;$

altezza relativa all'ipotenusa $\small h= C·\sin(\beta) = 8,65·\sin(30°) = 8,65×0,5\approx{4,33}\,cm.$

Oppure visto l'angolo di 60° il triangolo rettangolo in questione è metà di un triangolo equilatero la cui altezza corrisponde al cateto maggiore, quindi:

ipotenusa = lato dell'equilatero $\small i= \dfrac{h}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{8,65}{0,866}\approx{10}\,cm;$

cateto minore $\small c= \sqrt{i^2-C^2} = \sqrt{10^2-8,65^2} \approx{5}\,cm$ (teorema di Pitagora);

altezza relativa all'ipotenusa $\small h= \dfrac{C×c}{i} = \dfrac{8,65×5}{10} \approx{4,33}\,cm.$