[Risolto] Metodo Ruffini

La scomposizione
* a^5 - a^3 + 8*a^2 - 8 =
= (a^2 - 1)*a^3 + 8*(a^2 - 1) =
= (a^2 - 1)*(a^3 + 8) =
= (a + 1)*(a - 1)*(a + 2)*(a^2 - 2*a + 4) =
= (a^2 - 2*a + 4)*(a + 2)*(a + 1)*(a - 1)
mostra due zeri complessi coniugati (1 ± i*√3) e tre zeri razionali (- 2, - 1, 1) che sono i soli che si possono individuare applicando la Regola di Ruffini.
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Il metodo di scomposizione che si giova della Regola di Ruffini si basa sulle seguenti considerazioni.
1) Se la costante 'c' è uno zero del polinomio 'p(a)' allora la divisione 'p(a) : (a - c)' dà resto zero, cioè p(a) è multiplo del binomio (a - c).
2) Il resto della divisione 'p(a) : (a - c)' è il valore p(c).
3) Se p(a) = a^5 - a^3 + 8*a^2 - 8 allora per valutare p(c) = c^5 - c^3 + 8*c^2 - 8 così com'è scritto servono otto moltiplicazioni; per valutarlo con la Regola di Ruffini, p(c) = ((c^2 - 1)*c + 8)*c^2 - 8, ne bastano quattro. Quando, due secoli addietro, il Prof. Paolo Ruffini escogitò la Regola le moltiplicazioni si facevano scrivendo su carta con la penna d'oca intinta nel calamajo: risparmiare moltiplicazioni faceva risparmiare tempo e denaro.
4) Se un polinomio monico a coefficienti reali e termine noto intero, come questo p(a), ha zeri razionali essi sono tutti e soli fra i divisori interi del termine noto. Se questo è razionale gli zeri razionali sono, se esistono, rapporti fra un divisore intero del numeratore e un divisore naturale del denominatore.
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Per
* p(a) = a^5 - a^3 + 8*a^2 - 8
i divisori interi del termine noto sono
* {- 8, - 4, - 2, - 1, 1, 2, 4, 8}
e le corrispondenti otto coppie {a, p(a)} sono
* {- 8, - 31752}, {- 4, - 840}, {- 2, 0}, {- 1, 0}, {1, 0}, {2, 48}, {4, 1080}, {8, 32760}
dove ovviamente si individuano gli stessi tre zeri già individuati dalla scomposizione a occhio.