Prova a calcolare il limite $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ in due modi:
a. per via elementare;
b. applicando una o piû̀ volte il teorema di de l'Hópital.
Perché il secondo metodo è inconcludente?
Prova a calcolare il limite $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ in due modi:
a. per via elementare;
b. applicando una o piû̀ volte il teorema di de l'Hópital.
Perché il secondo metodo è inconcludente?
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Livello 2
a. Senza de l'Hôpital
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {\sqrt{x^2+1}}{x}$
Forma indeterminata del tipo ∞/∞
Estendiamo la radice al denominatore, la x è positiva visto che x→+ ∞
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{ \frac {x^2+1}{x^2}} = 1$
.
b. Con de l'Hôpital
Tutte le ipotesi del teorema sono soddisfatte, calcoliamo il limite delle derivate
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {x} {\sqrt{x^2+1}}$
Otteniamo così il limite della funzione reciproca. Se insistiamo con un altro giro di de l'Hôpital
ritorneremo alla funzione di partenza.
Metodo di de l'Hôpital risulta inconcludente.
Osservazione, come abbiamo risolto il limite senza de l'Hôpital possiamo risolvere il limite delle derivate.
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Livello 2
@cmc grazie cmc
Elementarmente
lim_x->+oo rad((x^2+1)/x^2) =
= lim_x->+oo rad (1 + 1/x^2) =
= rad(1 + lim_x->+oo 1/x^2) = 1
L'Hospital
E' una forma indeterminata "oo/oo"
Derivando
lim_x->+oo (1/(2 rad(x^2+1)) * 2x) : 1 = lim_x->+oo x/rad(x^2 + 1) =
= lim_x->+oo rad (x^2/(x^2+1)) = rad ( lim_x->+oo 1/(1 + 1/x^2)) = 1
e non mi sembra inconcludente.
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Livello 7
@eidosm Ciao Eidosom, perchè nel primo passaggio metti ....fratto x^2? ovvero qui:
lim_x->+oo rad((x^2+1)/x^2) =..Risolvere per via elementare significa separare la funzione? Grazie mille.
Se porto x dentro la radice l'esponente diventa 2
@eidosm Ok grazie mille.