Medie integrali problema inverso

Problema:

Si dimostri che se per una funzione $f(x)$, continua in $[a,x]$ con $x>a$, la media integrale sull'intervallo è pari alla media aritmetica dei valori degli estremi, qualunque sia $x$ nel dominio, allora il grafico della funzione è una retta.

Soluzione:

Per il Teorema della Media Integrale in combinazione con il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale si ha che la media integrale della funzione sull'intervallo dato risulta essere $\frac{F(x)-F(a)}{x-a}$. Se si pone questa quantità pari alla media aritmetica dei valori degli estremi, si ottiene l'equazione:

$\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=\frac{x+a}{2}\to 2F(x)-2F(a)=x²-a²\to F(x)=\frac{x²-a²+2F(a)}{2}$

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale è noto che $F^{\prime }(x)=f(x)$, si ottiene dunque $f(x)=x$ dato che i valori riguardanti $a$ sono costanti.