a. Considera le tre somme: 3^0+ 3^1+ 3^2 , 3^1+ 3^2+ 3^3 e 3^2+ 3^3+ 3^4 e verifica che sono tutte multiple di uno stesso numero.
b. Stabilisci se anche 3^3+ 3^4+ 3^5 è multiplo del numero individuato al punto a.
c.In base ai risultati dei punti precedenti, completa la seguente congettura: «la somma di tre successive potenze di 3 è sempre un multiplo di .....» e cerca di dimostrarla.
Grazie mille ancora a tutti
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Livello 1
3^0 + 3^1 + 3^2 = 1 + 3 + 9 = 13;
3^1+ 3^2+ 3^3 = 3 + 9 + 27 = 39;
3^1 + 3^2+ 3^3, possiamo scrivere la somma come:
3^0 * 3 + 3^1 * 3 + 3^2 * 3 = 3 * (3^0 + 3^1 + 3^2) = 3 * 13 = 39;
3^2 + 3^3+ 3^4, possiamo scrivere la somma come:
3^0 * 3^2 + 3^1 * 3^2 + 3^2 * 3^2 = (3^0 + 3^1 + 3^2) * 3^2 = 9 * 13 = 117;
c) La somma delle tre potenze consecutive è sempre multipla di 13 = 3^0 + 3^1 + 3^2.
Proviamo con un'altra somma:
3^5 + 3^6 + 3^7 = 3^0 * 3^5 + 3^1 * 3^5 + 3^2 * 3^5;
raccogliamo 3^5:
3^5 * ( 3^0 + 3^1 + 3^2) = 3^5 * 13;
Se al posto degli esponenti metti i generici numeri, n, n+1, n + 2 ottieni sempre:
3^n * ( 3^0 + 3^1 + 3^2) = 3^n * 13.
Ciao @silvia_maracci6930
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Genius II
1+3+9 = 13
3+9+27 = 39 = 3*13
9+27+81 = 117 = 3^2*13
Adesso, senza usare l'induzione matematica,
3^n + 3^(n+1) + 3^(n+2) = 3^n(1+3+9) =
= 3^n * 13
per cui la somma della generica terna di potenze consecutive di 3 e' divisibile per 13.
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Livello 7
