MCD

Problema:

Considera l’espressione $n³-n$ , con $n\in \mathbb{N}$ e n> 1.

(a) Calcola i valori assunti dall’espressione per n= 2, 3, 4, 5 e verifica che sono tutti multipli di uno stesso numero.

(b) Stabilisci se anche il valore assunto dall’espressione per n= 6 è multiplo del numero individuato al punto precedente.

(c) In base ai risultati dei punti precedenti, completa la seguente congettura: «l’espressione n³−n rappresenta, per ogni numero naturale maggiore di 1, un multiplo di .....» e cerca di dimostrarla.

Soluzione:

(a) Per calcolare i valori assunti dall'espressione per determinati valori di $n$ è necessario sostituire $n$ con quei determinati numeri:

$n=2:$ $2³-2=6$

$n=3:$ $3³-3=24$

$n=4:$ $4³-4= 60$

$n=5:$ $5³-5=120$

Essi risultano essere tutti multipli di 6:

$120=12\times10=6\times20$

$60=6\times10$

$24=6\times4$

$6=6\times1$

(b) Seguendo il procedimento del punto (a):

$n=6:$ $6³-6=210$

$210=6\times 35$

(c) «l’espressione n³−n rappresenta, per ogni numero naturale maggiore di 1, un multiplo di 6»

Dimostrazione:

La dimostrazione più semplice che mi è venuta in mente è quella per induzione dato che il quesito mi sembra scritto per una persona che non ha ancora frequentato le superiori.

Dimostrare per induzione, in soldoni, significa prendere per veri i tentativi svolti precedentemente per sostituzione e verificare che essi siano veri anche per un generico $n+k$, per semplificare si prenderà in considerazione il numero naturale successivo ad $n$.

Dai tentativi precedenti si sa che:

$n³-n=6k$, ove $k\in\mathbb{N}$

Per vedere se ciò è vero anche per $n+1$ è necessario sostituire $n$ con $n+1$:

$(n+1)³-(n+1)=n³+3n²+3n+1-n-1=n³+3n²+3n-n=n³-n+3(n²+n)$

Sostituendo $n³-n=6k$

$6k+3(n²+n)$

Dato che $n²+n$ è sempre pari (es: 3²+3=12), può dimostrarlo come esercizio nel medesimo modo che le sto mostrando, esso può essere riscritto come $n²+n=2g$, ove $g\in\mathbb{N}$

$6k+3(2g)$

$6(k+g)$

Dato che k+g è un numero naturale, si ha che qualsiasi numero, naturale, inserito nell'espressione sarà divisibile per 6. 

Quod erat demonstrandum.

Considerazione
* n ∈ N
* n > 1
* n^3 − n = n*(n^2 − 1) = n*(n + 1)*(n − 1) = (n − 1)*n*(n + 1)
cioè: l'espressione considerata è il prodotto di tre naturali consecutivi di cui n è quello centrale.
Fra tre naturali consecutivi ci sono almeno un multiplo di tre e uno di due, quindi ogni valore dell'espressione data è multiplo di sei.
Risposte ai quesiti
Ormai non servono più.

sono multipli di 2 e di 2*3 = 6