Maturità 2024, quesito 7

ρ = 1.47·10^11 m

α = 1.52·10^11 m

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

((α + ρ)/2)^2 = a^2

((α - ρ)/2)^2 = c^2

b^2 = a^2 - c^2

((1.52·10^11 + 1.47·10^11)/2)^2 = a^2

2.235025·10^22 = a^2

((1.52·10^11 - 1.47·10^11)/2)^2 = c^2

6.25·10^18 = c^2

b^2 = 2.235025·10^22 - 6.25·10^18

b^2 = 2.2344·10^22

x^2/(2.235025·10^22) + y^2/(2.2344·10^22) = 1

in m

Non sono in grado di risponderti su come avverrà la valutazione ma il fatto che l'esercizio parli esplecitamente dell'orbita terrestre credo sia scontato il fatto che tu conosca che la terra occupa uno dei fuochi di tale orbita che è ellittica e che afelio e perielio sono le distanze massima e minima della Terra dal Sole  e sono rappresentate dai punti estremi dell'asse maggiore. Con le approssimazioni ottengo a^2 =b^2; utilizzando più decimali i due valori risulteranno diversi; si tratta di un’orbita ellittica leggermente schiacciata.

Il Sole sta in un fuoco, non al centro, hanno chiamato questo punto  fuoco proprio per questo motivo.

Però l'ellisse non è molto eccentrica, il Sole è quasi al centro.

All'orale spiega che hai pensato che l'orbita percorsa dalla Terra è quasi una circonferenza; molto spesso al liceo gli esercizi di fisica dicono di approssimare l'orbita ad una circonferenza per calcolare velocità tangenziale e periodo di rivoluzione, anche se non è proprio corretto. Vedrai che andrà bene. 

(R afelio + R perielio) / 2 = semiasse maggiore dell'ellisse a.

equazione dell'ellisse:

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1;

[(R afelio + R perielio) / 2 ]^2 = a^2

[(R afelio - R perielio) / 2]^2 = c^2;

b = semiasse minore dell'ellisse = b;

b^2 = a^2 - c^2;   

((1,52 * 10^11 + 1, 47 * 10^11)/2)^2 = a^2;

a^2 = (1,495 * 10^11)^2 ; 

a^2; = 2,235 * 10^22;

c^2 = [(1,52 * 10^11 - 1,47 * 10^11)/2]^2,

c^2 = [2,5 * 10^9]^2 = 6,25 * 10^18;

b^2 = a^2 - c^2 = 2,235 * 10^22 - 6,25 * 10^18;

b^2 = 2,234 * 10^22;

Ellisse:

x^2 / [2,235 * 10^22] + y^2 / [2,234 * 10^22] = 1;

L'ellisse è poco eccentrica; a e b differiscono di poco;

e = c / a = 0,017; l'orbita è quasi circolare;   guarda il grafico di @gregorius

i fuochi distano 2c, sono vicinissimi.

Coordinate dei fuochi;

F1 (- c; 0)  F2 = (+ c; 0);

ciao  @rosieee2005

L'orbita è una ellisse ed in uno dei due fuochi è collocato il Sole 

((afel + per) / 2) ^2 = a^2 = quadrato del semiasse maggiore 

a^2 = 2,235*10^22 m^2 

((afel - per) / 2)^2 = c^2

c^2 = 6,25*10^18 m^2

detto b il semiasse minore dell'ellisse abbiamo : 

b^2 = a^2 - c^2   = 2,234*10^22 m^2

equazione dell'ellisse:

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

x^2/(2,235*10^22)+y^2/(2,234*10^22) = 1 

eccentricità e = c/a = √c^2/a^2 = 0,0167 

Le leggi di Keplero, come del resto la fretta, c'entrano come i cavoli a merenda; salvo ovviamente la prima che però, senza nominare Keplero, è già nota in quarta elementare.
Nella stessa classe o al massimo in quinta s'inizia a praticare la modellazione dei problemi: tradurre la narrativa in formule (senza nominare modellazione, narrativa, formule).
------------------------------
"... in un opportuno sistema di riferimento ..." ≡ quello degli assi di simmetria, con l'asse x sull'asse maggiore.
---------------
"... l'equazione ..." ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con
* semiassi: a > b > 0
* semidistanza focale: c = √(a^2 - b^2)
* vertici maggiori: afelio A(- a, 0), perielio P(a, 0)
* vertici minori: B(- b, 0), D(b, 0), irrilevanti per il problema
* fuochi: sinistro F(- c, 0), Sole S(c, 0)
---------------
"Determinare ... l'equazione ..." ≡ ricavare i semiassi (a, b) dai dati.
"... in cui è massima la distanza dal Sole, pari a circa 1,52·10^11 m" ≡ a + c ~= (38/25)·10^11 m
"... minima distanza dal Sole, pari a circa 1,47·10^11 m" ≡ a - c ~= (147/100)·10^11 m
------------------------------
Dal modello matematico del problema testé completato scaturisce la
Risposta al quesito #7
Dal momento che le distanze dal Sole dei punti di afelio e perielio, vertici dell'asse maggiore, sono eguali al semiasse maggiore "a" più o meno la semidistanza focale "c" questi risultano pari (in unità di 10^11 m) a semisomma e semidifferenza dei dati
* a = (38/25 + 147/100)/2 = 299/200 = 1.495
* c = (38/25 - 147/100)/2 = 1/40 = 0.025
dalla definizione di "c" si ricava il semiasse minore "b"
* c = √(a^2 - b^2) ≡ 1/40 = √((299/200)^2 - b^2) ≡ b = (7/50)*√114 ~= 1.49479 ~= 1.49
e infine la richiesta equazione
* (x/(299/200))^2 + (y/((7/50)*√114))^2 = 1 ≡
≡ (40000/89401)*x^2 + (1250/2793)*y^2 = 1
ovvero, con le stesse tre cifre dei dati,
* 0.447*x^2 + 0.448*y^2 = 1
l'orbita risulterebbe pressoché circolare: i dati sono non adatti a questo problema.
==============================
Or incomincian le dolenti note
a farmisi sentire; or son venuto
là dove molto pianto mi percuote. (Inferno, V, 25-27)
Devo darti un bel po' di brutte notizie: io ho fatto il commissario negli esami di maturità la prima volta nel luglio 1970 e poi sono stato o commissario di una materia scientifica o presidente quasi ogni anno fino al 2004; perciò ho nel subcosciente una nutrita statistica di valutazioni e verbalizzazioni. Resta comunque il fatto che tutti gli stravolgimenti normativi degli ultimi venti anni possono aver reso insignificante ogni mia cognizione in merito.
Commento le tue frasi da sotto in su.
"Secondo voi potrei ancora prendere 20/20 avendo fatto tutta la prova correttamente tranne per questa svista?"
No, non puoi e per buoni motivi.
Quella che tu chiami "questa svista" nel gergo delle commissioni si chiama "fuori tema" (hai capito fischi per fiaschi e hai svolto un esercizio diverso da quello assegnato) e la sua rilevazione comporta una valutazione insufficiente.
Tale insufficienza può avere il punteggio minimo se la commissione dovesse riconoscere che non è stata conseguita la competenza fondamentale "costruire astrazioni" senza la quale non c'è profitto in matematica, o può avere il massimo se la commissione sorvola sugli obiettivi e valuta svolto perfettamente l'esercizio diverso da quello assegnato.
Poiché nel PDF ministeriale i problemi e i quesiti non sono quotati i venti punti si devono considerare equiripartiti: 10 al problema e 10/4 a ciascun quesito, quindi l'insufficienza va da zero a cinque quarti.
Se tutto il resto della prova è perfetto allora merita 20 - 10/4 = 35/2 = 17.5 punti, che è il minimo.
Se questa risposta è valutata zero allora il punteggio sarà di 17; se al massimo (35/2 + 5/4 = 75/4 = 18.75) allora il punteggio sarà di 19: presumibilmente 18, ma solo se il resto risulta perfetto!
"Credo sia corretto matematicamente se non viene considerato il significato fisico che non dovrebbe essere nella prova anche se ovvio."
Bella forza! Tu hai risolto il problema "Scrivere l'equazione dati i semiassi" che è ovviamente "corretto matematicamente" perché non c'è nulla di matematico nello scrivere i valori di (a, b) nella formula
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
e se niente c'è non c'è niente da sbagliare.
"... le leggi di Keplero che non erano nel porgramma di matematica ..."
Non c'erano perché non dovevano esserci: nel programma di ogni materia di ogni anno di ogni tipo di scuola sono sottintesi tutti i programmi di tutte le materie di tutti gli anni precedenti. Se sei al tredicesimo anno devi aver meritato dodici promozioni e quindi devi sapere, saper fare e saper applicare a casi concreti tutto ciò che t'è stato insegnato nei dodici anni precedenti (a meno che, ovviamente, alcune di quelle promozioni non ti siano state elargite sulla fiducia che avresti provveduto a colmare le lacune; ma in tal caso non hai il diritto di lamentarti se non hai mantenuto la parola!).