Matrice diagonale, autovettori e autovalori al variare di K

$A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
k & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{pmatrix}$

Cominciamo vedendo il rango della matrice al variare di k. Calcolo il determinante sviluppando rispetto alla 2 riga:

$\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 \\
k & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{vmatrix}\stackrel{2r}{=}2\begin{vmatrix}0 & 1 \\1&1\end{vmatrix}
-k\begin{vmatrix}1 & 0 \\1&1\end{vmatrix}
+3\begin{vmatrix}1 & 0 \\0&1\end{vmatrix}=-2-k+3 = 1-k$

Dunque se $k=1$, $detA=0$. In tal caso la matrice diventa:

$A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{pmatrix}$

che ha rango 2 (puoi notare che c'è almeno un minore 2x2 con determinante non nullo).

Troviamo gli autovalori della matrice $A$ calcolando gli zeri del polinomio caratteristico:

$p_A(k,\lambda) = det(A-\lambda I)$

$p_A(k,\lambda)=\begin{vmatrix}
2-\lambda & 1 & 0 \\
k & -\lambda & 1 \\
3 & 1 & 1-\lambda
\end{vmatrix}\stackrel{1r}{=}(2-\lambda)\begin{vmatrix}-\lambda & 1 \\ 1 & 1-\lambda\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}k & 1 \\ 3 & 1-\lambda\end{vmatrix}$

$=(2-\lambda)(-\lambda+\lambda^2-1)-(k-k\lambda-3)$

$=-2\lambda+2\lambda^2-2+\lambda^2-\lambda^3+\lambda-k+k\lambda+3$

Dunque il polinomio caratteristico è:

$p_A(k,\lambda)=-\lambda^3+3\lambda^2-\lambda(1-k)+1-k$

In particolare, se $k=1$ otteniamo:

$p_A(1,\lambda)=-\lambda^3+3\lambda^2=-\lambda^2(\lambda-3)$

che ha come zeri:

$\lambda_1=0$ di molteplicità algebrica 2

$\lambda_2=3$ di molteplicità algebrica 1

Vediamo se la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica vedendo se:

$m_g(\lambda) = n-rk(A-\lambda I)$

dove in questo caso $n=3$

Dunque abbiamo:

$m_g(0)= 3-rg(A-0I) = 3-rg(A)=3-2 = 1$

possiamo già notare che la molteplicità geometrica (1) è diversa da quella algebrica (2) dunque la matrice per $k=1$ non è diagonalizzabile.

Possiamo inoltre notare che per $k=-2$ abbiamo:

$p_A(-2,\lambda)=-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+3$

che possiamo riscrivere come:

$p_A(-2,\lambda)=-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1+2$

in questo modo possiamo scomporre usando il cubo di binomio:

$p_A(-2,\lambda)=-(\lambda-1)^3+2$

e otteniamo la soluzione:

$ \lambda = \sqrt[3]{2}+1$ con molteplicità algebrica 3

Sostituendo dunque $k=-2$ e $\lambda=\sqrt[3]{2}+1$ otteniamo:

$m_g(\sqrt[3]{2}+1)= 3-rg(A-(\sqrt[3]{2}+1)I)$

Il determinante di quella matrice l'ho fatto qui:

https://www.youmath.it/ym-tools-calcolatore-automatico/algebra-lineare/calcolo-determinante.html

Il determinante è nullo, ma si vede che il rango è 2, quindi abbiamo:

$m_g(\sqrt[3]{2}+1)= 3-2=1$

Anche stavolta otteniamo molteplicità diverse dunque non è diagonalizzabile.

Credo non si riesca a fare più di questo perché non si riescono a trovare altre soluzioni "semplici" del polinomio caratteristico...