[Risolto] MATEMATICA (teoremi di Euclide)

@Denisa.sos 

In un quadrilatero circoscritto la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due. Quindi la somma delle basi è uguale alla somma dei lati obliqui.

B + b = 20 cm

ON = r

NC = HC = r/2

BC = 10 - r/2

Il triangolo OCB è rettangolo. Infatti l'angolo MOB=BOM perchè i triangoli rettangoli OMB e OHB sono congruenti. Analogamente l'angolo NOC = COH poichè i triangoli rettangoli NOC e COH sono congruenti.

Quindi: 2*BOH + 2*COH = 180 gradi ----> BOH + COH = 90 gradi

Applicando il teorema di Euclide al triangolo OCB  risulta:

OH² = HC * HB

Quindi:

r² = r/2 * (10 - r/2) 

5/4* r² - 5* r = 0

Da cui si ricava:

r=0 (non accettabile) , r=4 cm

Essendo l'altezza del trapezio circoscritto (un diametro) il doppio del raggio 

h=8 cm

Possiamo trovare l'area del trapezio 

A= ((b+B) *h) /2 = 20*8/2 = 80 cm²

Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza è uguale alla semisomma delle basi del trapezio stesso; in aggiunta l'angolo DOA è 90° 

AH+r = 10

r^2 = r/2*AH (euclides dixit)

r^2 = r/2*(10-r/2)

r^2 = 5r-r^2/4

5r^2/4 = 5r

r = 4 

DH = 2

AH = 8 

area = 20*8/2 = 80 cm^2