[Risolto] Matematica - Matrice

\[\text{Per} \,A\in M_{n,n}(\mathbb{K}) \quad \exists A^{-1} \iff \det{(A)} \neq 0\,.\]

Considerando la matrice A

\begin{pmatrix}
k & k & 1\\
0 & 1 & -1\\
1 & k & 0
\end{pmatrix}

Per il Teorema di Laplace, attraverso quindi gli sviluppi di Laplace per colonne

\[\det{(A)} = \sum_{i = 1}^{n} \left[a_{ij} \cdot \text{Cof}(a_{ij})\right] = \sum_{j = 1}^{n} \left[a_{ij} \cdot (-1)^{i + j} \cdot \det{(A_{ij})}\right]\,,\]

dove $A_{ij}$ è la matrice ridotta eliminando la $i$-esima riga e la $j$-esima colonna, si ha scegliendo la terza colonna

\[1 \cdot \det{(A_{13})} + 1 \cdot \det{(A_{23})} = -1 + k^2 - k \neq 0 \implies\]

\[k^2 - k - 1 \neq 0 \iff k \neq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \lor k \neq \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\,.\]

Dunque

\[\exists A^{-1} \quad \forall k\in \mathbb{K} - \left\{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right\}\,.\]

Ora prova a scrivere la matrice inversa di $A$ per $k = 0\,$.

Nota: Avresti potuto calcolare il determinante della matrice $3 \times 3$ anche tramite la Regola di Sarrus in quanto soddisfatte le ipotesi; tuttavia ti sconsiglio totalmente di utilizzarla, anzi dimenticala.

* A(k) = {{k, k, 1}, {0, 1, - 1}, {1, k, 0}}
* A(0) = {{0, 0, 1}, {0, 1, -1}, {1, 0, 0}}
* d(k) = det[A(k)] = k^2 - k - 1
* d(0) = - 1
* inv[A(k)] = {{k, k, - k - 1}, {- 1, - 1, k}, {- 1, k - k^2, k}}/d(k)
* inv[A(0)] = {{0, 0, 1}, {1, 1, 0}, {1, 0, 0}}
Risposte ai quesiti
i) Per d(k) = k^2 - k - 1 != 0 ≡ k ∉ {(1 - √5)/2, (1 + √5)/2}
ii) inv[A(0)] = {{0, 0, 1}, {1, 1, 0}, {1, 0, 0}}
Verifica (con altri mezzi)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B0%2C0%2C1%7D%2C%7B0%2C1%2C-1%7D%2C%7B1%2C0%2C0%7D%7D.%7B%7B0%2C0%2C1%7D%2C%7B1%2C1%2C0%7D%2C%7B1%2C0%2C0%7D%7D