Considera la funzione $f_k: R \rightarrow R$ definita da: $f_k(x)=\left(x^2+2 x+k\right) e^{-x}$ dove $k$ è un parametro reale.
1 Scrivi le equazioni delle due rette $t_1$ e $t_2$, tangenti rispettivamente al grafico della funzione $f_k$ e al suo simmetrico rispetto all'asse $y_{\text {, n }}$ nel punto in cui tali grafici intersecano l'asse $y$ stesso. Per quali valori di $k$ le due rette $t_1$ e $t_2$ sono perpendicolari?
2 Determina per quali valori di $k$ la funzione $f_k$ :
a. ha grafico tangente all'asse $x$;
b. presenta un punto di massimo e un punto di minimo;
c. è convessa in tutto il suo dominio.
13. Traccia il grafico della funzione $f$ nei seguenti due casi:
a. quando $k=1$
b. quando $k=2$
Stabilisci quindi il numero delle soluzioni reali delle seguenti equazioni, giustificando le risposte:
$$
x^2+2 x+1=e^x \quad x^2+2 x+1=\frac{3}{2} e^x \quad x^2+2 x+2=100 e^x
$$
4 Supponi ora $k=1$. Quanto vale l'area della regione finita di piano, contenuta nel secondo quadrante, delimitata dal grafico della funzione $f_1$ e dal grafico della funzione $g(x)=e^{-x}$ ? L'area della regione di piano, contenuta nel primo quadrante, delimitata dal grafico di $f_1$ e dall'asse $x$ è finita o infinita? Giustifica la risposta.
