Matematica. Fasci di circonferenza

impostiamo due generatrici del fascio.

• retta tangente e bisettrice del 1°-3° quadrante. y = x
• Circonferenza degenere di centro T(1, 1) e raggio nullo. (x-1)² + (y-1)² = 0

Equazione del fascio.  $ (x-1)^2 + (y-1)^2 + k(x-y) = 0 $

tra le infinite equazioni del fascio cerchiamo quelle tangenti alla bisettrice del 2°-4° quadrante

• retta bisettrice del 2°-4° quadrante. y = - x
• Impostiamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} x+y &= 0  \\ (x-1)^2 + (y-1)^2 + k(x-y) &= 0 \end{aligned} \right. $

Sostituiamo la prima nella seconda

$ x^2-2x+1+x^2+2x+1+2kx = 0 $

$ x^2+kx+1 = 0$

Affinché sia tangente imponiamo il discriminante nullo

$ Δ = 0 \; ⇒ \; k^2-4 = 0 \; ⇒ \; k = ± 2 $

a cui corrispondono le parabole

1. $(x-1)^2+(y-1)^2 + 2(x-y) = 0 \; ⇒ \; x^2+y^2-4y+2 = 0 $
2. $(x-1)^2+(y-1)^2 - 2(x-y) = 0 \; ⇒ \; x^2+y^2-4x+2 = 0 $