La parabola di equazione $x=-y^2+2 y+1$ ha il fuoco in $F$ e interseca la retta di equazione $x+y-1=0$ nei punti $A$ e $B$. Trova l'area del triangolo $A B F$.
$$
\left[\frac{21}{8}\right]
$$
Mi serve aiuto per questo esercizio
La parabola di equazione $x=-y^2+2 y+1$ ha il fuoco in $F$ e interseca la retta di equazione $x+y-1=0$ nei punti $A$ e $B$. Trova l'area del triangolo $A B F$.
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\left[\frac{21}{8}\right]
$$
Mi serve aiuto per questo esercizio
18
punti
Livello 0
{x = - y^2 + 2·y + 1
{x + y - 1 = 0
Risolvo ed ottengo: [x = 1 ∧ y = 0, x = -2 ∧ y = 3]
A[-2, 3]
B[1, 0]
F sta sull'asse y=-b/(2a)----> y=1
F[x, 1]
Scrivo le equazioni: (vedi figura)
{ΑF = ΑC
{ΒF = ΒD
con x = k equazione della direttrice
{√((-2 - x)^2 + (3 - 1)^2) = ABS(-2 - k)
{√((1 - x)^2 + (0 - 1)^2) = ABS(1 - k)
Elevando al quadrato entrambe:
{x^2 + 4·x = k^2 + 4·k - 4
{x^2 - 2·x = k^2 - 2·k - 1
E risolvendo si ottiene:
[x = 7/4 ∧ k = 9/4]---> [x = 1.75 ∧ k = 2.25]
F[1.75, 1]
A[-2, 3]
B[1, 0]
F[1.75, 1] (per chiudere il triangolo)
Α = 1/2·ABS((1.75·3 - 2·0 + 1·1) - (1.75·0 + 1·3 + (-2)·1))
Α = 1/2·ABS(6.25 - 1)----> Α = 2.625
(quindi 21/8 = 2.625 come risultato atteso)
90145
punti
Genius II