[Risolto] matematica: crescita esponenziale

Un modello di crescita esponenziale in cui sia agevole leggere il tempo T > 0 di raddoppio ha la forma
* n(t) = N*2^(t/T)
se poi occorre anche vedere "A quale valore di t (in secondi )" è bene avere i tempi in secondi.
Perciò «Al t=2h la popolazione raggiunge il valore N1=20480» va inteso alla luce di
* t = 2 h = 2*(3600 s) = 7200 s
* N1 = n(7200) = N*2^(7200/T) = 20480
come l'equazione che consente di determinare il modello e rispondere ai quesiti.
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Con
* n(0) = N = 5
si ha
* 2^(7200/T) = 20480/5 = 4096 = 2^12 ≡
≡ 7200/T = 12 ≡
≡ T = 600
da cui il modello
* n(t) = 5*2^(t/600)
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Quesito b) "Quanto vale il tempo di raddoppio?": T = 600 s = 10 minuti
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Quesito a) "A quale valore di t in secondi) raggiunge il 3% di N1?"
SOGGETTO SOTTINTESO "la popolazione"
* n(t) = 5*2^(t/600) = (3/100)*20480 = 3072/5 ≡
≡ 2^(t/600) = 3072/25 = (3/25)*2^10 ≡
≡ t/600 = log(2, (3/25)*2^10) = 10 + log(2, 3/25) ≡
≡ t = 600*(10 + log(2, 3/25)) = 6000 + 600*log(2, 3/25) ~=
~= 4165 s = 1 h 9 min 25 s

b) 5*2^(7200/T) = 20480

7200/T  = log_2 (20480/5) = log_2 4096 = 12

a) T = 7200/12 s = 600 s = 10 minuti

5 * 2^(t/600) = 20480 * 0.03

2^(t/600) = 122.88

t/600 = ln 122.88/ln 2 = 6.941

t = 4164.66 s = 1h 09 min 25 s