Determina per quali valori di $k$ la retta di equazione $y=-2 x+k$ è esterna alla circonferenza di equazione $x^2+y^2-6 x=0$
Determina per quali valori di $k$ la retta di equazione $y=-2 x+k$ è esterna alla circonferenza di equazione $x^2+y^2-6 x=0$
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Livello 0
{x^2 + y^2 - 6·x = 0
{y = - 2·x + k
procedo per sostituzione
x^2 + (- 2·x + k)^2 - 6·x = 0
5·x^2 - x·(4·k + 6) + k^2 = 0
Δ/4 < 0
(2·k + 3)^2 - 5·k^2 < 0
- k^2 + 12·k + 9 < 0
risolvo ed ottengo: k < 6 - 3·√5 ∨ k > 3·√5 + 6
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Genius II
@LucianoP io mi sto proprio a rimbambire giorno dopo giorno. Saluti, beato te!
Ma va là... Sei sempre lo stesso! "Vecchione" sei sempre in gamba. Ciao da Luciano
La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 6*x = 0 ≡ (x - 3)^2 + y^2 = 9
ha raggio r = 3 e centro C(3, 0) sull'asse x.
-----------------------------
Il fascio improprio di pendenza m = - 2 e intercetta k
* r(k) ≡ y = k - 2*x
ha le due rette tangenti Γ individuate dai valori di k che azzerano il discriminante dell'equazione risolvente il sistema r(k) & Γ
* x^2 + (k - 2*x)^2 - 6*x = 0 ≡
≡ x^2 - 2*((2*k + 3)/5)*x + k^2/5 = 0
cioè
* Δ(k) = - (4/25)*(k^2 - 12*k - 9) = 0 ≡
≡ (k1 = 3*(2 - √5) ~= - 0.708) oppure (k2 = 3*(2 + √5) ~= 12.708)
da cui
* r(k1) ≡ y = 3*(2 - √5) - 2*x
* r(k2) ≡ y = 3*(2 + √5) - 2*x
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%283*%282-%E2%88%9A5%29-2*x-y%29*%283*%282--%E2%88%9A5%29-2*x-y%29%3D0%2C%28x-3%29%5E2%3D9-y%5E2%5D
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Risposta al quesito
Sono esterne a Γ le r(k) con intercette strettamente esterne all'intervallo [k1, k2], cioè per
* (k < k1 = 3*(2 - √5) ~= - 0.708) oppure (k > k2 = 3*(2 + √5) ~= 12.708)
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Genius I