In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore AB misura 2a, la base minore CD è congruente all'altezza AD e misura a. Determina un punto P, sulla diagonale AC, tale che la somma dei quadrati delle distanze di P dai quattro vertici sia 4a^2. Grazie in anticipo per l'aiuto.
40
punti
Livello 0
"un punto P" si può scegliere fra il punto medio della diagonale AC e il punto medio della sua metà verso C.
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In un riferimento cartesiano monometrico di unità "a", con i vertici
* A(0, 0), B(2, 0), C(1, 1), D(0, 1)
il segmento AC è
* AC ≡ 0 <= y = x <= 1
e il cursore di cui determinare la posizione è
* P(k, k) & (0 <= k <= 1)
le cui distanze (al quadrato) dai vertici sono
* |PA|^2 = 2*k^2
* |PB|^2 = k^2 + (k - 2)^2
* |PC|^2 = 2*(k - 1)^2
* |PD|^2 = k^2 + (k - 1)^2
e la loro somma è
* s(k) = 8*k^2 - 10*k + 7
che vale quattro per
* s(k) = 8*k^2 - 10*k + 7 = 4 ≡
≡ 8*k^2 - 10*k + 3 = 0 ≡
≡ 8*(k - 1/2)*(k - 3/4) = 0 ≡
≡ (k = 1/2) oppure (k = 3/4)
57171
punti
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