[Risolto] matematica

"parabola con asse parallelo all'asse y"
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
"passante per A(1, 0), B(4, 0), C (0, 4)"
* (0 = h + a*(1 - w)^2) & (0 = h + a*(4 - w)^2) & (4 = h + a*(0 - w)^2) ≡
≡ (a = 1) & (w = 5/2) & (h = - 9/4)
da cui
* equazione Γ ≡ y = (x - 5/2)^2 - 9/4 ≡ y = x^2 - 5*x + 4 ≡ y = (x - 1)*(x - 4)
* pendenza m(x) = 2*x - 5
* vertice V(5/2, - 9/4)
* zeri (x = 1) oppure (x = 4)
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Risposte ai quesiti
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a. l'equazione della parabola
Già fatto.
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b. l'equazione della retta r tangente alla parabola in B
Per B(4, 0), dove la pendenza di Γ è m(4) = 3, la retta di pari pendenza è
* r ≡ y = 3*x - 12
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c. l'equazione della retta s, parallela a r, che individua sulla parabola una corda DE di lunghezza 4 radice di 35
Il fascio delle parallele ad r, che ne è l'elemento s(- 12), è
* s(q) ≡ y = 3*x + q
esse intersecano Γ nelle soluzioni del sistema
* s(q) & Γ ≡ (y = 3*x + q) & (y = (x - 5/2)^2 - 9/4) ≡
≡ D(4 - √(q + 12), q + 12 - 3*√(q + 12)) oppure E(4 + √(q + 12), q + 12 + 3*√(q + 12))
individuando una corda lunga
* |DE| = c(q) = 2*√(10*q + 120)
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* |DE| = c(q) = 2*√(10*q + 120) = 4*√35 ≡ q = 2
da cui
* s ≡ s(2) ≡ y = 3*x + 2
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d. l'aereo del triangolo DEB
Per un esercizietto presentato così sciattamente senza rileggere e correggere, penso che dovrebbe bastare un Vidor Asso X Jewel motorizzato Rotax 912 (almeno vola!).
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e. l'equazione della circonferenza tangente alla retta r in B e avente il centro sulla retta di equazione x=7
La circonferenza Γc richiesta ha raggio R = |BK| e il centro K di ascissa x = 7 sulla normale ad r per B.
Per B(4, 0) la retta p di pendenza m' = - 1/m(4) = - 1/3 è
* p ≡ y = (4 - x)/3
da cui
* K(7, - 1)
* R^2 = |BK|^2 = 10
* Γc ≡ (x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 10
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x-5%2F2%29%5E2-9%2F4%2C%28x-7%29%5E2%3D10-%28y--1%29%5E2%2Cy%3D3*x-12%5Dx%3D-3to13%2Cy%3D-6to10

Fai un sistema a tre incognite, dove sostituisci i valori di x e y con le tue coordinate. Per motivazioni di spazio,

ti scrivo subito l'equazione della parabola: y = x^2-5x+4.

b. Scrivi l'equazione del fascio di rette passanti per il punto B di equazione: y=mx-4m e metti tutto a sistema

con l'equazione della parabola. Quindi, per sostituzione, ottieni: mx-4m = x^2-5x+4 --->

x^2+(-m-5)x+4m+4=0 -----> Delta = m^2+10m+25-16m-16 = m^2-6m+9 ----> Imponi il delta pari a 0

per soddisfare la condizione di tangenza: (m-3)^2=0 ---> m=3. Quindi, l'equazione della retta tangente è: 

y = 3x-12

Ti faccio solo questa parte, perchè il resto è parecchio lungo e non ho la possibilità di spiegarlo al meglio.