Date le rette r: x+y+1=0 e s: x-y+1=0, siano A e B, rispettivamente, i punti di intersezione di r e s con la retta di equazione y=t, con t>0; detto C il punto di intersezione di r e s, determina t in modo che il triangolo ABC abbia:
a. area 4;
b. baricentro sulla retta di equazione 3x+2y=0;
c. circocentro sulla retta di equazione y= 5/2
27
punti
Livello 0
Facile, ma lungo.
t > 0
Punto A
{x + y + 1 = 0
{y = t
risolvo: [x = -t - 1 ∧ y = t]----> A(-t-1; t)
Punto B
{x - y + 1 = 0
{y = t
risolvo: [x = t - 1 ∧ y = t]----> B(t-1;t)
Punto C
{x + y + 1 = 0
{x - y + 1 = 0
risolvo: [x = -1 ∧ y = 0]-----> C(-1;0)
Per qualsiasi valore di t>0 abbiamo un triangolo rettangolo isoscele retto in C: la retta x=-1 è sempre altezza, mediana relativa ad AB e bisettrice del triangolo in C.
Base ΑΒ = (t - 1) - (-t - 1)----> ΑΒ = 2·t
altezza h = t
Area= Α = 1/2·Α·Β·h---> 4 = 1/2·2·t·t
t = -2 ∨ t = 2
Il baricentro deve essere tale per cui sussistano le equazioni:
{3·x + 2·y = 0
{x = -1 (per quanto detto sopra)
Quindi ha coordinate: x = -1 ∧ y = 3/2----> G(-1,3/2)
Quindi deve risultare:
3/2 = 2/3·t----> t = 9/4 = 2.25
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Se il circocentro deve stare sulla retta y=5/2 deve essere t=5/2
90143
punti
Genius II
