[Risolto] Matematica

FAMIGLIA PARAMETRICA DI TRIANGOLI
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Le risposte ai quesiti dipendono dalla posizione del vertice parametrico C(2 - k, - k) rispetto al segmento AB dei vertici fissi A(3, 1), B(6, 7).
C(2 - k, - k) è il punto cursore della retta
* r(C) ≡ y = x - 2
Il segmento AB:
* è sulla retta AB ≡ y = 2*x - 5, nella striscia 3 <= x <= 6, con pendenza m = 2;
* ha punto medio M(9/2, 4);
* ha asse ax(AB) ≡ y = (25 - 2*x)/4, luogo dei punti E(u, (25 - 2*u)/4) equidistanti dagli estremi, di pendenza m' = - 1/2;
* ha la perpendicolare in B p ≡ y = 10 - x/2, luogo dei punti P(u, 10 - u/2), di pendenza m' = - 1/2.
In particolare, dipendono dal fatto che i vertici siano o meno allineati: al quesito #2 c'è risposta solo se sono allineati, al #1 e al #3 solo se non lo sono.
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Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3) è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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Per i vertici
* A(3, 1), B(6, 7), C(2 - k, - k)
si ha
* S(ABC) = (3/2)*|k + 1| = 0 ≡ k = - 1
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Per k = - 1
* A(3, 1), B(6, 7), C(3, 1) → C ≡ A != M
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Per k != - 1
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C è sull'asse di AB per C(2 - k, - k) = E(u, (25 - 2*u)/4) ≡
≡ (2 - k = u) & (- k = (25 - 2*u)/4) ≡
≡ (k = - 7/2) & (u = 11/2)
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C è sulla perpendicolare in B per C(2 - k, - k) = P(u, 10 - u/2) ≡
≡ (2 - k = u) & (- k = 10 - u/2) ≡
≡ (k = - 6) & (u = 8)
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DUE FASCI DI RETTE CON LO STESSO PARAMETRO (che rinomino k)
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* "2(m-1)x-3(m-1)+2y=0" ≡ 2*(k - 1)*x + 2*y - 3*(k - 1) = 0
* "Y=mx+2m-1,5(m-1)-2+Y=m(x-1)" ≡
≡ y = k*x + 2*k - (3/2)*(k - 1) - 2 + y = k*(x - 1)
e questa stringa non è l'equazione di un fascio, ma è un sistema che
* per k = 0 diventa
* y = y - 1/2 = 0
palesemente incompatibile e, per k != 0, cioè
* (y = k*x + 2*k - (3/2)*(k - 1) - 2 + y) & (k*x + 2*k - (3/2)*(k - 1) - 2 + y = k*(x - 1)) & (k != 0) ≡
≡ (x = (1 - k)/(2*k)) & (y = (1 - 3*k)/2) ≡
≡ (k = 1/(2*x + 1)) & (y = (x - 1)/(2*x + 1)) & (x != - 1/2)
VALE A DIRE CHE
* non rappresenta un fascio di rette
* per k = 0 rappresenta le due parallele y = 0 ed y = 1/2
* per k 1= 0 rappresenta il punto cursore dell'iperbole di asintoti x = - 1/2 ed y = 1/2
quindi non può avere centro per alcun valore di k.