L'equazione del grafico della funzione in figura è del tipo $f(x)=\frac{1}{a x^2+b x+c}$.
a. Trova $a, b, c$.
b. Indica il dominio e l'insieme immagine di $f(x)$.
c. Considera la restrizione della funzione per $x>0$, trova l'espressione analitica della funzione inversa e disegnane il grafico.
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Livello 1
La funzione:
y = 1/(a·x^2 + b·x + c)
di figura è pari in quanto simmetrica rispetto asse delle y. Questo significa che: numeratore pari e lo è perché di grado zero e denominatore pari quindi deve essere b=0.
y = 1/(a·x^2 + c)
quindi:
{1 = 1/(a·(-1)^2 + c) passa per [-1, 1]
{3 = 1/(a·0^2 + c) passa per [0, 3]
Quindi
{1 = 1/(a + c)
{3 = 1/c
Risolvo sistema ed ottengo:[a = 2/3 ∧ c = 1/3]
-----------------------------------------
C.E. : ]-∞,+∞[
Insieme immagine: ]0,+3]
-----------------------------------
y = 1/(2/3·x^2 + 1/3)------> y = 3/(2·x^2 + 1)
con x>0
Trovo funzione inversa:
Risolvo rispetto ad x: x = - √2·√((3 - y)/y)/2 ∨ x = √2·√((3 - y)/y)/2
considero solo la seconda perché deve essere x>0
x = √2·√((3 - y)/y)/2-----> x = √((3 - y)/(2·y))
sostituisco x-->y ed y---> x
y = √((3 - x)/(2·x))----> y = √(3/(2·x) - 1/2)
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Genius II
Funzione pari => b=0
Passa per V(0;3) => c=1/3
Imponendo la condizione di appartenenza del punto (-1;1) alla funzione si ricava il valore del parametro a
1 = 1/(a+1/3)
a= 2/3
Dominio R
Insieme di definizione in R: R
Immagine della funzione: y>0
Nella restrizione considerata, la funzione inversa è
2x²y + y = 3
x² = (3-y)/(2y)
x= radice [(3-y)/(2y)]
Quindi:
f-1(x) = radice [(3-x)/(2*x)]
Graficamente la funzione inversa è la simmetrica della funzione data rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
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Genius II
A) Trova ...
* f(x) = y = 1/(a*x^2 + b*x + c)
* f'(x) = - (2*a*x + b)/(a*x^2 + b*x + c)^2
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Passaggio per (- 1, 1)
* f(- 1) = 1 = 1/(a*(- 1)^2 + b*(- 1) + c)
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Passaggio per (0, 3)
* f(0) = 3 = 1/(a*0^2 + b*0 + c)
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Massimo in (0, 3)
* f'(0) = - (2*a*0 + b)/(a*0^2 + b*0 + c)^2 = 0
---------------
* (1 = 1/(a - b + c)) & (3 = 1/c) & (- b/(c)^2 = 0) ≡
≡ (a = 2/3) & (b = 0) & (c = 1/3)
da cui
* f(x) = y = 3/(2*x^2 + 1)
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B) Indica ...
f(x) è definita reale ovunque e assume valore in (0, 3].
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C) Considera ...
* (y = 3/(2*x^2 + 1)) & (x > 0) ≡
≡ (x = √((3 - y)/(2*y))) & (0 < y < 3)
da cui
* inv[f(x)] ≡ (y = √((3 - x)/(2*x))) & (0 < x < 3)
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Il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%E2%88%9A%28%283-x%29%2F%282*x%29%29%5Dx%3D-1to3%2Cy%3D-1to9
è un ramo di
http://www.wolframalpha.com/input?i=2*x*y%5E2-3+%3D-x
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Genius I
