L'equazione del grafico della funzione in figura è del tipo $f(x)=\frac{1}{a x^2+b x+c}$. a. Trova $a, b, c$. b. Indica il dominio e l'insieme immagine di $f(x)$. c. Considera la restrizione della funzione per $x>0$, trova l'espressione analitica della funzione inversa e disegnane il grafico.
di figura è pari in quanto simmetrica rispetto asse delle y. Questo significa che: numeratore pari e lo è perché di grado zero e denominatore pari quindi deve essere b=0.
y = 1/(a·x^2 + c)
quindi:
{1 = 1/(a·(-1)^2 + c) passa per [-1, 1]
{3 = 1/(a·0^2 + c) passa per [0, 3]
Quindi
{1 = 1/(a + c)
{3 = 1/c
Risolvo sistema ed ottengo:[a = 2/3 ∧ c = 1/3]
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C.E. : ]-∞,+∞[
Insieme immagine: ]0,+3]
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y = 1/(2/3·x^2 + 1/3)------> y = 3/(2·x^2 + 1)
con x>0
Trovo funzione inversa:
Risolvo rispetto ad x: x = - √2·√((3 - y)/y)/2 ∨ x = √2·√((3 - y)/y)/2