[Risolto] MATEMATICA

1)

Scrivi il fascio di rette proprio di centro A(0;1)

y-1 = mx

Imponi la condizione di tangenza (Delta=0) tra il fascio di rette e la conica. Determini i valori del parametro m

2)

Scrivi l'equazione della retta polare (y=2/3) utilizzando le formule di sdoppiamento, determini i punti di tangenza 

T1= [rad(3)/3; 2/3]

T2= [-radice (3)/3 ; 2/3]

Scrivi le due retta passanti per A-T1 ; A-T2

x^2 + 3/2·y^2 = 1

Fascio di rette proprio con centro in A(0,1)

y - 1 = m·x------> y = m·x + 1

per sostituzione:

x^2 + 3/2·(m·x + 1)^2 = 1

svolgendo i calcoli:

x^2·(3·m^2 + 2) + 6·m·x + 1 = 0

Condizione di tangenza: Δ/4 = 0

(3·m)^2 - (3·m^2 + 2) = 0

6·m^2 - 2 = 0----> m = - √3/3 ∨ m = √3/3

y = 1 - √3·x/3

y = √3·x/3 + 1

Unifico la risposta a due tue domande che sono istanze dello stesso problema.
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/130803/
Determina l'equazione della retta tangente all'ellisse di equazione x^2+3/4y^2 = 1 nel suo punto di coordinate (1/2, 1). La soluzione che ci sta scritta sul libro è: 2x + 3y - 4 = 0
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/130806/
Scrivi le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di equazione x^2+3/2y^2 = 1, condotte da A(0, 1)
La soluzione è: y = ± √3/3x + 1
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PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica non degenere Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciandone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se il punto P è interno alla conica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla conica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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ESERCIZI
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130803) Γ ≡ x^2 + (3/4)*y^2 = 1 ≡ x^2 + (3/4)*y^2 - 1 = 0; P(1/2, 1)
* p(Γ, P) ≡ x*1/2 + (3/4)*y*1 - 1 = 0 ≡ y = - (2/3)*(x - 2) ≡ 2*x + 3*y - 4 = 0
* p & Γ ≡ (y = - (2/3)*(x - 2)) & (x^2 + (3/4)*y^2 - 1 = 0) ≡ (1/2, 1) doppio
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130806) Γ ≡ x^2 + (3/2)*y^2 = 1 ≡ x^2 + (3/2)*y^2 - 1 = 0; A(0, 1)
* p(Γ, A) ≡ x*0 + (3/2)*y*1 - 1 = 0 ≡ y = 2/3
* p & Γ ≡ (y = 2/3) & (x^2 + (3/2)*y^2 - 1 = 0) ≡ P(- 1/√3, 2/3) oppure Q(1/√3, 2/3)
* AP ≡ y = 1 + x/√3
* AQ ≡ y = 1 - x/√3
* AP oppure AQ ≡ y = 1 ± x/√3