L'equazione $\sqrt{e^x+k^2}=1$ nell'incognita $x$, con $k$ parametro reale, ha soluzione:
A per ogni valore di $k$ non negativo
B solo per $k$ uguale a zero
C solo per $k$ uguale a uno
D per ogni valore positivo di $k$
E per ogni valore di $k$ strettamente compreso tra -1 e 1
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Livello 1
Eleviamo al quadrato per eliminare la radice quadrata:
e^x + k^2 = 1^2;
e^x + k^2 = 1;
e^x = 1 - k^2
e^x > 0; per ogni x;
1 - k^2 > 0;
k^2 < 1;
- 1 < k < + 1;
k appartenente a ]-1; +1[.
Risposta E
Considerando la giustissima correzione di @exprof:
e^x = 1 - k^2;
x = ln(1 - k^2);
il logaritmo è definito per valori maggiori di 0; non esiste logaritmo di un numero negativo.
1 - k^2 > 0; la condizione è questa.
k^2 < 1;
- 1 < k < + 1;
k appartenente a ]-1; +1[.
Risposta E
Ciao @gabriele3076
Di nuovo ciao @gabriele3076
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Genius II
@mg 👍👍👍
@mg Grazie di aver risposto, perche' ad un certo punto e^x = 1 - k^2 diviene 1 - k^2 > 0?
1 - k^2 deve essere >0 perché a sinistra dell'uguale c'é la funzione e^x.
e^x = 1 - k^2;
e^x è la funzione esponenziale è sempre positiva, per ogni valore di x.
Per valori negativi di x, e^x assume valori fra 1 e 0. Diventa 0 solo per x che tende a - infinito.
Quindi 1 - k^2 non deve diventare 0; 1 - k^2 >0
Ciao. gabriele3076
@mg
Me ne scuso, ma sono VIGOROSAMENTE in disaccordo: le parole sono importanti (© Nanni Moretti).
Risposta giusta E
Infatti e^x + k^2 =1
e^x = 1-k^2 > 0
k^2 - 1< 0
-1 < k < 1
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Livello 7
@eidosm Grazie d'aver risposto EidosM, non capisco perche' e^x + k^2 sia uguale ad uno.
Perché quadrati di quantità uguali sotto opportune condizioni.
@gabriele3076 ...Eidos ha elevato al quadrato ambo i membri (operazione supermacha 🤭)
@eidosm Del tipo e^x > 0 e k^2 ≥ 0?
* √(e^x + k^2) = 1 ≡ x = ln(1 - k^2)
quindi
* per k < - 1: 1 - k^2 < 0; x = ln(k^2 - 1) + i*π
* per k = - 1: 1 - k^2 = 0; x = indefinito
* per - 1 < k < 1: 1 - k^2 > 0; x = ln(1 - k^2)
* per k = + 1: 1 - k^2 = 0; x = indefinito
* per k > + 1: 1 - k^2 < 0; x = ln(k^2 - 1) + i*π
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TUTT'E CINQUE LE OPZIONI PROPOSTE SONO ERRATE PER NON PERTINENZA AL QUESITO.
L'unica risposta corretta e compatibile col quesito è
* per ogni k reale diverso da ± 1: k ∈ R\{- 1, 1}
in quanto il quesito pone il vincolo di realtà solo su k, ma non su x.
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Genius I
