[Risolto] Matematica

In ogni circonferenza fra il raggio r, la corda lunga c che dista d dal centro, e d stessa vale la relazione pitagorica
* r^2 = d^2 + (c/2)^2
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La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - x + y - 2 = 0 ≡ (x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = 5/2
ha centro C(1/2, - 1/2) e raggio r = √(5/2).
Per avere c = √5, come richiesto, dev'essere
* r^2 = 5/2 = d^2 + (√5/2)^2 ≡ d = √5/2
La circonferenza
* Γ' ≡ (x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = 5/4
di centro C(1/2, - 1/2) e raggio r' = d è tangente entrambe le rette richieste che s'individuano azzerando il discriminante dell'equazione risolvente il sistema fra Γ' e il fascio di rette
* (y = - 2*x + k) & ((x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = 5/4)
Risolvente
* (x - 1/2)^2 + (- 2*x + k + 1/2)^2 - 5/4 = 0 ≡
≡ 20*x^2 - 4*(4*k + 3)*x + (2*k + 3)*(2*k - 1) = 0
Discriminante
* Δ(k) = - 64*(k + 2)*(k - 3)
che s'annulla per k in {- 2, 3}; quindi le rette richieste sono
* y = - 2*x - 2
* y = - 2*x + 3

Circonferenza di centro C(1/2; - 1/2)

R= radice (5/2)

(x-1/2)² + (y+1/2)² = 5/2

Il raggio della circonferenza è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti la distanza del centro dal fascio e metà corda.

Imponendo la condizione richiesta si ricava:

(Teorema di Pitagora) 

(1/2 - k)²/5 + 5/4 = 5/2

(1/2 - k) = ±5/2

Quindi:

k=3  v  k= - 2

Le rette del fascio hanno equazione 

y= - 2x+3

y= - 2x - 2