Matematica

@gabry-007

Ciao. Ti rispondo sino alle due parabole.

Le parabole sono del tipo:

y = a·x^2 + b·x + c

Devono passare per il punto ottenibile dal sistema:

{3·x - 5·y + 8 = 0

{x = 4

quindi: 3·4 - 5·y + 8 = 0----> 20 - 5·y = 0 da cui

y = 4------> [4, 4]

quindi:

4 = a·4^2 + b·4 + c-------> 16·a + 4·b + c = 4

c = - 16·a - 4·b + 4

Le parabole quindi si semplificano in:

y = a·x^2 + b·x + (- 16·a - 4·b + 4)

Quindi metto a sistema:

{y = a·x^2 + b·x + (- 16·a - 4·b + 4)

{2·x - y - 5 = 0

procedo per sostituzione: y = 2·x - 5

2·x - 5 = a·x^2 + b·x + (- 16·a - 4·b + 4)

a·x^2 + b·x + (- 16·a - 4·b + 4) + 5 - 2·x = 0

a·x^2 + x·(b - 2) - 16·a - 4·b + 9 = 0

condizione tangenza: Δ = 0

(b - 2)^2 - 4·a·(9 - 16·a - 4·b) = 0

64·a^2 + 4·a·(4·b - 9) + (b - 2)^2 = 0

In modo analogo:

{y = a·x^2 + b·x + (- 16·a - 4·b + 4)

{2·x + y - 3 = 0-------> y = 3 - 2·x

3 - 2·x = a·x^2 + b·x + (- 16·a - 4·b + 4)

a·x^2 + b·x + (- 16·a - 4·b + 4) + 2·x - 3 = 0

a·x^2 + x·(b + 2) - 16·a - 4·b + 1 = 0

Δ = 0

(b + 2)^2 - 4·a·(1 - 16·a - 4·b) = 0

64·a^2 + 4·a·(4·b - 1) + (b + 2)^2 = 0

metto quindi a sistema:

{64·a^2 + 4·a·(4·b - 9) + (b - 2)^2 = 0

{64·a^2 + 4·a·(4·b - 1) + (b + 2)^2 = 0

per sottrazione ottengo:

- 32·a - 8·b = 0-------> b = - 4·a

64·a^2 + 4·a·(4·(- 4·a) - 9) + (- 4·a - 2)^2 = 0

16·a^2 - 20·a + 4 = 0

4·a^2 - 5·a + 1 = 0------> a = 1/4 ∨ a = 1

a = 1/4: b = - 4·(1/4)----> b = -1

y = 1/4·x^2 + (-1)·x + (- 16·(1/4) - 4·(-1) + 4)

y = x^2/4 - x + 4

a = 1: b = - 4·1---> b = -4

y = 1·x^2 + (-4)·x + (- 16·1 - 4·(-4) + 4)

y = x^2 - 4·x + 4

"LE PARABOLE y=ax^2+bx+c=0" NON ESISTONO (avendo "= 0" è una sola retta: l'asse x!)
ESISTE invece una triplice infinità di parabole di forma
* y = a*x^2 + b*x + c
che, rappresentate nella forma equivalente
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(w - x)^2
hanno
* asse di simmetria x = w parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
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Fra di esse tutte e sole quelle "passanti per il punto di ascissa 4" della retta
* 3*x - 5*y + 8 = 0 ≡ y = (3*x + 8)/5
cioè per (4, 4), devono soddisfare al vincolo
* 4 = h + a*(w - 4)^2 ≡ h = 4 - a*(w - 4)^2
quindi le altre condizioni si applicano alla forma
* Γ(a, w) ≡ y = 4 + a*((w - x)^2 - (w - 4)^2)
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Le due tangenti imposte
* 2*x - y - 5 = 0 ≡ y = 2*x - 5
* 2*x + y - 3 = 0 ≡ y = 3 - 2*x
di pendenze opposte ± 2, s'intersecano in (2, - 1); quindi, per la necessaria simmetria rispetto all'asse x = 2, occorre che sia w = 2, cioè
* Γ(a) ≡ y = a*(x - 2)^2 - 4*(a - 1)
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Si ha la tangenza fra Γ(a) e l'iperbole degenere delle due tangenti
* (2*x - y - 5)*(2*x + y - 3) = 0
a condizione che il loro sistema
* ((2*x - y - 5)*(2*x + y - 3) = 0) & (y = a*(x - 2)^2 - 4*(a - 1))
presenti soluzioni doppie, cioè se in esse si annulla il termine
* ± √(4*a^2 - 5*a + 1)
vale a dire per
* (a = 1/4) oppure (a = 1)
da cui infine le due parabole richieste
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* Γ(1/4) ≡ y = (x - 2)^2/4 + 3
con
* vertice V(2, 3)
* pendenza m(x) = (x - 2)/2
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* Γ(1) ≡ y = (x - 2)^2
con
* vertice V(2, 0)
* pendenza m(x) = 2*(x - 2)
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%284*%28x+-+2%29%5E2-y%5E2-2*y%3D1%29+%26+%28%28%28x-2%29%5E2%2F4--3-y%29*%28%28x-2%29%5E2-y%29%3D0%29
(4*(x - 2)^2-y^2-2*y=1) & (((x-2)^2/4--3-y)*((x-2)^2-y)=0)
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CON QUANTO SOPRA HO OTTEMPERATO ALLA CONSEGNA "Scrivi", PASSO A "Determina".
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La parabola "avente il vertice di ordinata minore" è
* Γ(1) ≡ y = (x - 2)^2
che, "nel punto A di ascissa 3", ha
* ordinata y = 1
* pendenza m(3) = 2
* tangente t ≡ y = 1 + 2*(x - 3) ≡ y = 2*x - 5
* normale n ≡ y = 1 - (x - 3)/2 ≡ y = (5 - x)/2
Le rette (n, t) hanno zeri in
* (y = 0) & (y = 2*x - 5) ≡ B(5/2, 0)
* (y = 0) & (y = (5 - x)/2) ≡ C(5, 0)
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Il triangolo di vertici
* A(3, 1), B(5/2, 0), C(5, 0)
ha: base b = |C - B| = 5/2; altezza h = |yA - yB| = 1; area S = b*h/2 = 5/4.