Considera la parabola $\gamma$ avente fuoco in $F(0 ; 8)$ e la retta di equazione $y=-4$ come direttrice, e sia $P$ il punto di $\gamma$ avente ascissa $3 .$ a. Determina la retta $t$, tangente a $\gamma$ in $P$. b. Nel fascio di rette parallele a $t$ trova la retta $r$ su cui $\gamma$ stacca un segmento di lunghezza $\frac{3}{2} \sqrt{17}$. c. Calcola l'area del triangolo che ha per vertici gli estremi della corda e il fuoco. [a) $2 x-8 y+13=0 ;$ b) $x-4 y+8=0 ;$ c) 18$]$
* γ ≡ y = x^2/24 + 2 con pendenza * m(x) = x/12 in quanto --------------- 1) direttrice parallela all'asse x (y = - 4) vuol dire asse di simmetria parallelo all'asse y, quindi equazione di forma * γ ≡ y = yV + a*(x - xV)^2 --------------- 2) fuoco F(0, 8) distante 2*f = 12 dalla direttrice vuol dire * asse di simmetria x = 0 * distanza focale f = 6 = 1/(4*|a|) ≡ |a| = 1/24 * a > 0 perché yF = 0 > - 4 della direttrice * ordinata del vertice intermedia fra direttrice e fuoco V(0, 2) * γ ≡ y = 2 + (x - 0)^2/24 --------------- Poi, da x = 3, si determina * P(3, 3^2/24 + 2) = (3, 19/8) * m(3) = 3/12 = 1/4 ------------------------------ A) Per P(3, 19/8) passano tutte e sole le rette * x = 3, parallela all'asse y; * y = 19/8 + k*(x - 3), per ogni pendenza k reale. Quella di pendenza 1/4 è * t ≡ y = 19/8 + (x - 3)/4 ≡ ≡ 2*x - 8*y + 13 = 0 ------------------------------ B) La generica * r(q) ≡ y = x/4 + q interseca γ nelle soluzioni del sistema * r(q) & γ ≡ (y = x/4 + q) & (y = x^2/24 + 2) ≡ ≡ S1(3 - √(3*(8*q - 13)), (4*q + 3 - √(3*(8*q - 13)))/4) oppure ≡ S2(3 + √(3*(8*q - 13)), (4*q + 3 + √(3*(8*q - 13)))/4) distanti fra loro * d(q) = √(51*(8*q - 13))/2 --------------- La r richiesta corrisponde a q che verifica * d(q) = √(51*(8*q - 13))/2 = (3/2)*√17 ≡ q = 2 da cui * r(2) ≡ y = x/4 + 2 * S1(3 - √(3*(8*2 - 13)), (4*2 + 3 - √(3*(8*2 - 13)))/4) = (0, 2) * S2(3 + √(3*(8*2 - 13)), (4*2 + 3 + √(3*(8*2 - 13)))/4) = (6, 7/2) ------------------------------ C) S(S1S2F) = 18 in quanto il triangolo ha base (b = 6) sull'asse y fra F(0, 8) e S1(0, 2), ed ha per altezza (h = 6) la differenza delle ascisse fra S2 e i due allineati sull'asse y.