[Risolto] matematica: funzioni

$f(x)=ax^4 +bx^2+c$

Passaggio per (1,3) $\to$ $3=a+b+c$

Passaggio per ($\sqrt{3}$,-1): $-1 = 9a +3b+c$

Estremo relativo in ($\sqrt{3}$,-1)

Derivata y' = $4ax^3 + 2bx$ ,

Estremo relativo per x = $\sqrt{3}$ : y'=0  $\to$ $0 = 4a*(3^{3/2}) + 2b\sqrt{3}$

Mettendo a sistema le tre condizioni

$a+b+c =3$ , $9a +3b+c =-1$ , $ 4a(3^{3/2}) + 2b\sqrt{3}=0$

 si ottengono i parametri: a=1, b=-6, c=8

E quindi $f(x) = x^4-6x^2+8$

c) Parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate: parabola con equazione del tipo $y=ax^2+bx+c$

Passaggio per (0,4): $ 0+0 +c=4$

Coordinate vertice (Xv,Yv) $\to$ Xv = -b/2a  = 0 $\to$ b=0 

Yv = (b^2-4ac)/4a = -4ac/4a = -c = 4, quindi  deve essere a<0

y=ax^2+4

Abbiamo $f(x) = x^4-6x^2+8$ e $g(x) = ax^2+4$. Le due funzioni devono essere tangenti in (x0,y0) e, di conseguenza, passare entrambe per quel punto.

Passaggio: $ x_0^4-6x_0^2+8 = ax_0^2 +4$

Il coefficiente angolare (m) delle rette tangenti alle due funzioni in (x0,y0) devono essere uguali

$4x^3 -12x = 2ax$

Il parametro $a$ deve essere lo stesso e si ottiene dalla prima (ponendo x0=/=0)

$a = x_0^2 - 6+ \dfrac{4}{x_0^2}$

Dalla seconda

$a=2x_0^2 -6$

Uguagliando le espressioni

$x_0^2 - 6+ \dfrac{4}{x_0^2} =2x_0^2 -6$ 

$\dfrac{x_0^4 +4 -2x_0^4}{x_0^2} =0$

Si ottengono le soluzioni reali $x_0= \pm \sqrt{2}$

Valutando il caso x0=0 si otterrebbe 8=4 dalla prima equazione e quindi impossibile. x0 =0 non è una soluzione.

Sostituendo in g(x) una delle due soluzioni possibili si ottiene a=-2.

Quindi $g(x) = -2x^2+4$