[Risolto] matematica

@penh

Ciao e benvenuto.

Parabola :

y = a·x^2

per A [-2, 4]-----> 4 = a·(-2)^2----> 4 = 4·a-----> a = 1

Quindi: y = x^2

Retta:

per C [2, 12] e A [-2, 4]

(y - 4)/(x + 2) = (12 - 4)/(2 + 2)------> y = 2·x + 8

Retta-parabola per ottenere B

{y = 2·x + 8

{y = x^2

Risolvo ed ottengo: [x = -2 ∧ y = 4, x = 4 ∧ y = 16]

Quindi B [4, 16]

Quindi circonferenza per:

A [-2, 4] ; B [4, 16]; D [4, 0]-----> x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

{(-2)^2 + 4^2 + a·(-2) + b·4 + c = 0

{4^2 + 16^2 + a·4 + b·16 + c = 0

{4^2 + 0^2 + a·4 + b·0 + c = 0

quindi:

{2·a - 4·b - c = 20

{4·a + 16·b + c = -272

{4·a + c = -16

Risolvo ed ottengo: [a = -10 ∧ b = -16 ∧ c = 24]

Quindi: x^2 + y^2 - 10·x - 16·y + 24 = 0

Ultimo punto:

{x^2 + y^2 - 10·x - 16·y + 24 = 0

{y = x^2

Risolvo ed ottengo:

[x = 1 ∧ y = 1, x = -2 ∧ y = 4, x = -3 ∧ y = 9, x = 4 ∧ y = 16]

Quindi gli altri due punti:

E [1, 1] ed F [-3, 9]

Retta EA:

(y - 1)/(x - 1) = (4 - 1)/(-2 - 1)-----> y = 2 - x

Retta FB:

(y - 9)/(x + 3) = (16 - 9)/(4 + 3)-----> y = x + 12

Sono quindi perpendicolari fra loro.

É un po' lungo, spero si capisca

I punti A(- 2, 4) e B(u, v) sono comuni a:
1) una parabola Γ1 con vertice V(0, 0) e fuoco F(0, h): y = a*x^2;
2) la retta r congiungente A con C(2, 12): y = 2*x + 8;
3) una circonferenza Γ2 per il punto D(4, 0).
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Su questi dati si chiede una montagna di cose: è un tema per un compito di recupero!
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A) Per prima cosa si chiedono le tre equazioni.
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Avendo già determinato
* r ≡ y = 2*x + 8
si pone la condizione che B sia su r: v = 2*(u + 4) → B(u, 2*(u + 4)).
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Poi si scrivono le condizioni d'appartenenza di A e B a Γ1
* (4 = a*(- 2)^2) & (2*(u + 4) = a*u^2) ≡ (a = 1) & (u = 1 ± 3)
da cui
* Γ1 ≡ y = x^2
* F(0, 1/4)
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Poi le due circonferenze
* Γ2a per A(- 2, 4), D(4, 0), B1(4, 2*(4 + 4) = 16) ≡
≡ (x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 65
* Γ2b per A(- 2, 4), D(4, 0), B2(- 2, 2*(- 2 + 4) = 4) ≡
≡ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 13
che, per DISAMBIGUARE IL DATO MANCANTE sul segno di xB, necessitano di un altro calcolo
* r & Γ1 & Γ2a ≡
≡ (y = 2*x + 8) & (y = x^2) & ((x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 65) ≡
≡ A(- 2, 4) oppure B1(4, 16)
* r & Γ1 & Γ2b ≡
≡ (y = 2*x + 8) & (y = x^2) & ((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 13) ≡
≡ A(- 2, 4) e basta!
Quindi solo B1 e Γ2a meritano i nomi B e Γ2.
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*x%2B8%2Cy%3Dx%5E2%2C%28x-5%29%5E2%2B%28y-8%29%5E2%3D65%5Dx%3D-4to14%2Cy%3D-1to17
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B) Determinare gli altri punti comuni a Γ1 e Γ2.
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* Γ1 & Γ2 ≡ (y = x^2) & ((x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 65) ≡
≡ F(- 3, 9) oppure A(- 2, 4) oppure E(1, 1) oppure B(4, 16)
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C) Verificare l'ortogonalità fra le rette EA ed FB.
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* EA ≡ y = 2 - x
* FB ≡ y = x + 12
Poiché le pendenze sono antinverse l'ortogonalità è verificata.
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%5E2%2C%28x-5%29%5E2%3D65-%28y-8%29%5E2%2C%282-x-y%29*%28y-x-12%29%3D0%5D