Sia data la famiglia di funzioni $f(x)=a x e^{-b x^2}$, con $a, b \in \mathbb{R}$.
a. Determina $a$ e $b$ in modo che $f(x)$ abbia un massimo relativo per $x=\frac{\sqrt{6}}{6}$ e che il suo valore medio nell'intervallo $[0 ; 1]$ sia $\frac{e^3-1}{3 e^3}$.
b. Avendo dimostrato che i valori di $a$ e $b$ di cui al punto precedente sono $a=2$ e $b=3$, sia $f(x)$ la funzione corrispondente a tali valori. Ricava, se esiste, il limite seguente:
$$
\lim _{k \rightarrow+\infty} \int_0^k f(x) d x
$$
c. Sia $P$ un punto del grafico dif $f(x)$ appartenente al primo quadrante e siano $Q$ e $R$ le sue proiezioni sugli assi $x$ e $y$, rispettivamente. Ricava $P$ in modo che sia massima l'area del rettangolo $P Q O R$.
$$
\left[\text { a) } a=2, b=3 \text {; b) } \frac{1}{3} \text {; c) } P\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \text {; } \frac{2 \sqrt{3}}{3 e}\right)\right]
$$
