Considera la famiglia di funzioni $f(x)=\frac{a x^2+b}{x+3}$, con $a, b \in \mathbb{R}$
a. Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ in modo che il grafico di $f(x)$ sia tangente alla retta di equazing $7 x-5 y-9=0$ nel suo punto di ascissa $x=2$.
b. Verifica che la funzione ottenuta ha esattamente due punti stazionari.
[a) $a=2, b=-3]$
438
punti
Livello 1
y = (a·x^2 + b)/(x + 3)
7·x - 5·y - 9 = 0
Passano entrambe in x=2
La funzione iperbole ha ordinata in tale punto pari a:
y = (4·a + b)/5
Mentre la retta ha ordinata pari a:
7·2 - 5·y - 9 = 0----> y = 1
Quindi deve essere:
(4·a + b)/5 = 1
-------------------
Esplicitiamo la retta: y = (7·x - 9)/5
y = 7·x/5 - 9/5
m = 7/5 =dy/dx=dell'iperbole in x=2
y'= (a·x^2 + 6·a·x - b)/(x + 3)^2
quindi 2 equazioni:
{(a·2^2 + 6·a·2 - b)/(2 + 3)^2 = 7/5
{(4·a + b)/5 = 1
---------------
{16·a - b = 35
{4·a + b = 5
risolto: [a = 2 ∧ b = -3]
Funzione iperbole non equilatera:
y = (2·x^2 - 3)/(x + 3)
Che ha un max rel a sinistra dell'asintoto verticale x=-3 ed ha un min rel a destra
y' = dy/dx = (2·x^2 + 12·x + 3)/(x + 3)^2
2·x^2 + 12·x + 3 = 0
quindi risolvendo: x = - √30/2 - 3 ∨ x = √30/2 - 3
In tali punti si ha quanto detto sopra.
90142
punti
Genius II
