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[Risolto] mate aiuto

  

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Considera la famiglia di funzioni $f(x)=\frac{a x^2+b}{x+3}$, con $a, b \in \mathbb{R}$
a. Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ in modo che il grafico di $f(x)$ sia tangente alla retta di equazing $7 x-5 y-9=0$ nel suo punto di ascissa $x=2$.
b. Verifica che la funzione ottenuta ha esattamente due punti stazionari.
[a) $a=2, b=-3]$

20240213 195903
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2

y = (a·x^2 + b)/(x + 3)

7·x - 5·y - 9 = 0

Passano entrambe in x=2

La funzione iperbole ha ordinata in tale punto pari a:

y = (4·a + b)/5

Mentre la retta ha ordinata pari a:

7·2 - 5·y - 9 = 0----> y = 1

Quindi deve essere:

(4·a + b)/5 = 1

-------------------

Esplicitiamo la retta: y = (7·x - 9)/5

y = 7·x/5 - 9/5

m = 7/5 =dy/dx=dell'iperbole in x=2

y'= (a·x^2 + 6·a·x - b)/(x + 3)^2

quindi 2 equazioni:

{(a·2^2 + 6·a·2 - b)/(2 + 3)^2 = 7/5

{(4·a + b)/5 = 1

---------------

{16·a - b = 35

{4·a + b = 5

risolto: [a = 2 ∧ b = -3]

Funzione iperbole non equilatera:

y = (2·x^2 - 3)/(x + 3)

image

Che ha un max rel a sinistra dell'asintoto verticale x=-3 ed ha un min rel a destra

y' = dy/dx = (2·x^2 + 12·x + 3)/(x + 3)^2

2·x^2 + 12·x + 3 = 0

quindi risolvendo: x = - √30/2 - 3 ∨ x = √30/2 - 3

In tali punti si ha quanto detto sopra.

 



Risposta
SOS Matematica

4.6
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