Mate

(b - 2)·x - (2·b - 1)·y + 1 = 0

y = 2·x + √57---> m = 2

Risolvo il fascio in y:

y = x·(b - 2)/(2·b - 1) + 1/(2·b - 1)

quindi:

(b - 2)/(2·b - 1) = 2---> b = 0

(0 - 2)·x - (2·0 - 1)·y + 1 = 0

- 2·x + y + 1 = 0

Retta del fascio perpendicolare a:

3·x - y + 1 = 0

Deve essere:

(b - 2)·3 + (2·b - 1)·1 = 0

5·b - 7 = 0---> b = 7/5

(7/5 - 2)·x - (2·(7/5) - 1)·y + 1 = 0

- 3·x/5 - 9·y/5 + 1 = 0

3·x + 9·y - 5 = 0

Per risolvere l'esercizio, dobbiamo determinare il valore del parametro \( b \) in modo che la retta \( r \) soddisfi le condizioni indicate.

La retta \( r \) è data dall'equazione:

\[
(b - 2)x - (2b - 1)y + 1 = 0
\]

Possiamo riscrivere questa equazione nella forma \( y = mx + q \) per trovare il coefficiente angolare \( m \).

### Passo 1: Riscrivere l'equazione nella forma \( y = mx + q \)

Dalla forma generale dell'equazione \( Ax + By + C = 0 \), abbiamo:

A = b - 2
B = -(2b - 1)

C = 1

Isoliamo y :

-(2b - 1)y = -(b - 2)x - 1

y = {(b - 2)}/{(2b - 1)}x + {1}/{(2b - 1)}

Quindi, il coefficiente angolare della retta (r) è:

m_r = {(b - 2)}/{(2b - 1)}

### a) Condizione per la parallelità

Una retta è parallela a un'altra se hanno lo stesso coefficiente angolare. La retta data è ( y = 2x - \sqrt{5} ), quindi il suo coefficiente angolare è

(m =2).

Imponiamo quindi:{

(b - 2)}/{(2b - 1)} = 2

Risolvendo l'equazione:

b - 2 = 2(2b - 1)
b - 2 = 4b - 2
-2 = 3b - 2
0 = 3b
b = 0

### b) Condizione per la perpendicolarità

Una retta è perpendicolare a un'altra se il prodotto dei loro coefficienti angolari è ( -1).

Imponiamo quindi:

{(b - 2)}/{(2b - 1)}*2 = -1

Risolvendo l'equazione:

(b - 2 )*2= (2b - 1)

2b-4= 2b+1

4b=5

b =5/4

### Risultati finali

- Per la retta ( r ) parallela a ( y = 2x -sqrt{5} ), il valore di (b) è (0).
- Per la retta ( r ) perpendicolare a ( y = 3x - y = 0 ), il valore di ( b ) è (5/4).